Рівняння Ланжевена

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Рівняння Ланжевенастохастичне диференціальне рівняння, що використовується в статистичній фізиці для опису процесів із випадковими силами, наприклад, броунівський рух.

Виходячи з рівняння Ланжевена, для випадкових сил із певними характеристиками можна побудувати рівняння Фоккера-Планка, які задають еволюцію функції розподілу змінної.

Броунівський рух[ред.ред. код]

Перше рівняння, вивчене Полем Ланжевеном, описувало броунівський рух з постійним потенціалом, тобто прискорення броунівської частинки з масою , що виражається через суму сили в'язкого тертя, яка пропорційна швидкості частинки за законом Стокса, шумового члена (назва, яка використовується у фізиці для позначення стохастичного процесу в диференціальному рівнянні) — за рахунок безперервних зіткнень частинки з молекулами рідини, і — систематичної сили, що виникає при внутрішньомомекулярних та міжмолекулярних взаємодіях:

Розв'язок рівняння[ред.ред. код]

Перепишемо рівняння Ланжевена без зовнішніх сил. Крім того, без втрати загальності можна розглядати тільки одну з координат.

Будемо вважати, що випадкова сила задовольняє таким умовам:

де b — деяка константа, яку ми визначимо пізніше, дельта-функція Дірака. Кутовими дужками позначено усереднення за часом. Це т.зв. дельта-корельована випадкова величина: її автокореляційна функція дорівнює дельта-функції. Такий випадковий процес також називається білим шумом.

Перепишемо рівняння в термінах швидкості:

де

Нехай в початковий момент часу частинка мала швидкість . Будемо шукати розв'язки у вигляді: , тоді для отримаємо наступне диференціальне рівняння:

У підсумку, отримуємо шуканий вираз для швидкості:

З нього випливають два важливих співвідношення:

  1. . Тобто середнє значення швидкості прямує до нуля з плином часу.
  2. .

Середній квадрат швидкості з часом прямує до значення .

Якщо припустити, що кінетична енергія частинки з часом прямує до теплової, то можна визначити значення коефіцієнта :

Перетворенням початкового виразу можна отримати, що:

Звідси випливає співвідношення Ейнштейна:

де B — рухливість броунівської частинки, а - коефіцієнт дифузії.

Посилання[ред.ред. код]

  • Гардинер К. В. Стохастические методы в естественных науках. — М. : Мир, 1986. — 528 с.
  • ван Кампен Н. Г. Стохастические процессы в физике и химии. — М. : Высшая школа, 1990. — 376 с.
  • Хакен Г. Синергетика. — М. : Мир, 1980. — 406 с.
  • Coffey W. T., Kalmykov Yu. P., Waldron J. T. The Langevin Equation: With Applications to Stochastic Problems in Physics, Chemistry and Electrical Engineering. — World Scientific, 1996.
  • Reif F. Fundamentals of Statistical and Thermal Physics. — N. Y. : McGraw-Hill, 1965.