Рівняння Лотки-Вольтерри

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Автоколивання численності хижаків (червона крива) та жертв (чорна крива)

Рівня́ння Ло́тки — Вольте́рри або рівня́ння хижа́к — же́ртва — система двох звичайних диференціальних рівнянь першого порядку, яка описує кінетику чисельності популяції з одним типом хижаків і одним типом жертв. Характерною особливістю рівннянь є те, що їхнім розв'язком є автоколивання. Рівняння запропонували незалежно Альфред Джеймс Лотка та Віто Вольтерра, в 1925 та 1926 роках, відповідно.

Рівняння мають вигляд

\frac{dx}{dt} = x(\alpha - \beta y)
\frac{dy}{dt} = - y(\gamma - \delta  x)

де x — кількість жертв, наприклад, зайців, y — кількість хижаків, наприклад, вовків,  \alpha, \beta, \gamma, \delta   — певні параметри.

У рівняння входять такі процеси: розмноження жертв та їхня гибель в результаті поїдання хижаками, розмноження та вимирання хижаків. Вважається, що розмноження хижаків пропорційне кількості іжі, тобто, кількості потенційних жертв у популяції.

Стаціонарні точки[ред.ред. код]

Система рівняннь має дві стаціонарні точки:

  1. x=0, y =0 — ця точка відповідає відсутності в популяції як жертв, так і хижаків.
  2.  x = \delta/\gamma, \quad y = \alpha/\beta

Аналіз стійкості стаціонарних точок показує, що перша з них (нульова) є сідловою, а друга — фокусом. Показник Ляпунова для фокуса чисто уявний, тому з лінійного аналізу зробити висновок про стійкість чи нестійкість фокуса неможливо. Однак для рівнянь Лотка-Вольтерра існує інтеграл руху, який показує, що фазові траєкторії — замкнуті криві, всередині яких знаходиться фокус.

Інтеграл руху[ред.ред. код]

Фазові траєкторії

Для розв'язків рівняння Лотки-Вольтерра існує інтеграл руху

  y^\alpha e^{-\beta y} \, x^\gamma e^{-\delta x} = \text{const}.

Типові фазові траєкторії показані на малюнку праворуч. При значному розмноженні жертв створюються умови для розмноження хижаків завдяки доступності їжі. Але розмноження хижаків призводить до зменшення числа жертв. Коли число жертв сильно падає, хижаки теж гинуть через недостатню кількість їжі. Тільки тоді, коли кількість хижаків досягає мінімуму, популяція жертв знову починає зростати.

Існування інтегралу руху призводить до того, що величини популяцій визначаються початковими умовами. В цій задачі немає граничного циклу, який був би атрактором для фазових траєкторій. Цикли в задачі хижак-жертва мають байдужу стійкість.

Узагальнена модель Лотки-Вольтерри[ред.ред. код]

Модель Лотки-Вольтерра може бути узагальнена для багатьох популяцій (N). Для них ми маємо такі рівняння:

\frac{dx_i}{dt} = (a_i - \sum_{j=1}^{N}{b_ij y_j})x_i
\frac{dy_i}{dt} = (\sum_{j=1}^{N} c_ij x_j - d_i)y_i

де параметри a_i, b_{ij}, c_{ij}, d_i мають такий же сенс як у моделі із двома видами організмів.

Реалістична модель «хижак-жертва»[ред.ред. код]

На графіку показано зміна чисельності населення жертв і хижаків у часі.

Головний недолік моделі Лотки-Вольтерри полягає у тому, що при нульовій чисельності хижаків популяція жертв необмежено зростає. Таким чином, у реалістичніших моделях, що описують це явище має бути пропускна здатність K — максимальне число осіб якої може досягати розмір популяції. Рівняння що враховує цей чинник наведено нижче:

\frac{dx}{dt} = x\left(r\left(1-\frac{x}{K}\right)-\frac{ky}{x+D}\right)
\frac{dy}{dt} = y\left(s\left(1-\frac{hy}{x}\right)\right)

D, h, s — перебувають у постійній залежності від моделі.

Література[ред.ред. код]

  • Сугаков В. Й. Основи синерґетики. — К.: Обереги, 2001. — 287 с.
  • Хакен Г. Синергетика. — М.: Мир, 1980. — 406 с.


Наука Це незавершена стаття з науки.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.