Рівняння Орнштейна-Церніке

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Рівняння Орнштейна-Церніке — інтегральне рівняння статистичної механіки для визначення прямої кореляційної функції. Воно описує, як може бути розрахована кореляція між двома молекулами, точніше кореляція густини між двома точками. Застосування в основному можна знайти в теорії рідини.

Рівняння назване на честь Леонарда Саломона Орнштейна і Фріца Церніке.

Виведення[ред.ред. код]

Можна отримати рівняння Орнштейна-Церніке з наступних евристичних міркувань. Зручно ввести повну кореляційну функцію:

 h(r_{12})=g(r_{12})-1 \,

яка є мірою для "впливу" молекули 1 на молекулу 2, розташовану на відстані r_{12} від першої, в системі з радіальною функцією розподілу g(r_{12}). У 1914 році Орнштейн і Церніке запропонували розділити цей вплив на два внески: прямий і непрямий. Прямий внесок за визначенням задається прямою кореляційною функцією, позначається c(r_{12}). Непрямий внесок пов'язаний з впливом молекули 1 на третю молекулу 3, яка в свою чергу впливає на молекулу 2, безпосередньо. Такий опосередкований ефект зважується по густині і усереднюється по всіх можливих положеннях кординати молекули 3. Цей розклад можна записати так:

 h(r_{12})=c(r_{12}) + \rho \int d \mathbf{r}_{3} c(r_{13})h(r_{23})   \,

що і називатиметься рівнянням Орнштейна-Церніке.

Точний вивід рівняння потребує графічного аналізу та функціональних методів статистичної фізики.

Застосування[ред.ред. код]

Щоб розвязати рівняння Орштейна-Церніке, до нього додають ще одне наближене рівняння, що повязує h(r) з c(r), отримане з модельних міркувань. В результаті отримаємо одне інтегральне чи інтегро-диференціалне рівняння, з якого можна знайти h(r). Найпоширеніші наближення:

  • наближення Перкуса-Євіка:
 c(r)=g(r)[e^{-\phi(r)/kT} - 1] e^{-\phi(r)/kT} \,
  • Гіперланцюгове наближення:
 c(r)=g(r) - 1 - \ln{g(r)} - \frac{\phi(r)}{kT},

В рамках теорії Орштейна-Церніке можна, не вдаючись у детальний вигляд функції c(r), а припустивши лише, що вона є короткодіючою, описати асимтотичну поведінку h(r) при r \rightarrow \infty:

h(r) \rightarrow \frac {e^{-r/R_c}} {r}

із деяким характерним параметром R_c (радіусом кореляції).

Посилання[ред.ред. код]