Рівняння Орнштейна-Церніке

Рівняння Орнштейна-Церніке — інтегральне рівняння статистичної механіки для визначення прямої кореляційної функції. Воно описує, як може бути розрахована кореляція між двома молекулами, точніше кореляція густини між двома точками. Застосування в основному можна знайти в теорії рідини.

Рівняння назване на честь Леонарда Саломона Орнштейна і Фріца Церніке.

Виведення

Можна отримати рівняння Орнштейна-Церніке з наступних евристичних міркувань. Зручно ввести повну кореляційну функцію:

$h(r_{12})=g(r_{12})-1\,$

яка є мірою для "впливу" молекули 1 на молекулу 2, розташовану на відстані $r_{12}$ від першої, в системі з радіальною функцією розподілу $g(r_{12})$. У 1914 році Орнштейн і Церніке запропонували розділити цей вплив на два внески: прямий і непрямий. Прямий внесок за визначенням задається прямою кореляційною функцією, позначається $c(r_{12})$. Непрямий внесок пов'язаний з впливом молекули 1 на третю молекулу 3, яка в свою чергу впливає на молекулу 2, безпосередньо. Такий опосередкований ефект зважується по густині і усереднюється по всіх можливих положеннях координати молекули 3. Цей розклад можна записати так:

$h(r_{12})=c(r_{12})+\rho \int d\mathbf {r} _{3}c(r_{13})h(r_{23})\,$

що і називатиметься рівнянням Орнштейна-Церніке.

Точний вивід рівняння потребує графічного аналізу та функціональних методів статистичної фізики.

Застосування

Щоб розв'язати рівняння Орштейна-Церніке, до нього додають ще одне наближене рівняння, що пов'язує $h(r)$ з $c(r)$, отримане з модельних міркувань. В результаті отримаємо одне інтегральне чи інтегро-диференціальне рівняння, з якого можна знайти $h(r)$. Найпоширеніші наближення:

• наближення Перкуса-Євіка:

$c(r)=g(r)[e^{-\phi (r)/kT}-1]e^{-\phi (r)/kT}\,$

• Гіперланцюгове наближення:

$c(r)=g(r)-1-\ln {g(r)}-{\frac {\phi (r)}{kT}},$

В рамках теорії Орштейна-Церніке можна, не вдаючись у детальний вигляд функції $c(r)$, а припустивши лише, що вона є короткодіючою, описати асимтотичну поведінку $h(r)$ при $r\rightarrow \infty$:

$h(r)\rightarrow {\frac {e^{-r/R_{c}}}{r}}$

із деяким характерним параметром $R_{c}$ (радіусом кореляції).

Посилання

• The Ornstein–Zernike equation and integral equations
• Multilevel wavelet solver for the Ornstein–Zernike equation Abstract
• Analytical solution of the Ornstein–Zernike equation for a multicomponent fluid
• The Ornstein–Zernike equation in the canonical ensemble
• Ornstein–Zernike Theory for Finite-Range Ising Models Above T_c
• OzOS, (a Linux distribution named after Leonard Salomon Ornstein and Frederik Zernike)