Рівняння електромагнітної хвилі

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Рівняння електромагнітної хвилі - це диференціальне рівняння з частковими похідними другого порядку, за допомогою якого можна описати поширення електромагнітних хвиль у середовищі або у вакуумі . Це тривимірна форма хвильового рівняння . Однорідна форма рівняння, записана через електричне поле E або магнітне поле B, має вигляд:

де

- швидкість світла (тобто фазова швидкість ) у середовищі з магнітною проникністю μ та діелектричною проникністю ε, а 2 - оператор Лапласа . У вакуумі vph = c0 = 299,792,458 метрів на секунду - основна фізична стала . Рівняння електромагнітної хвилі випливає з рівнянь Максвелла . У більшості старих літературних джерел B називають густиною магнітного потоку або магнітною індукцією .

Походження рівняння електромагнітної хвилі[ред. | ред. код]

Листівка від Максвелла до Пітера Тейта .

У своїй статті 1865 року під назвою «Динамічна теорія електромагнітного поля» Максвелл використав виправлення до циркулярного закону Ампера, яке він вніс у частину III статті 1861 року « Про фізичні сили». У частині VI своєї роботи 1864 року, під назвою "Електромагнітна теорія світла" [1] Максвелл поєднав струм переміщення з деякими іншими рівняннями електромагнетизму, і отримав хвильове рівняння зі швидкістю, що дорівнює швидкості світла. Він прокоментував:

Узгодженість результатів, здається, показує, що світло і магнетизм - це вплив однієї і тієї ж речовини, і що світло - це електромагнітне збурення, що поширюється полем відповідно до електромагнітних законів. [2]

Висновок Максвелла про рівняння електромагнітних хвиль було замінено у сучасній фізичній освіті набагато менш громіздким методом, що передбачає поєднання виправленої версії закону Ампера з законом Індукції Фарадея .

Щоб отримати рівняння електромагнітної хвилі у вакуумі за допомогою сучасних методів, ми почнемо з сучасної форми рівнянь Максвелла у формі " Хевісайда" . У просторі без вакууму та заряду ці рівняння:

Це загальні рівняння Максвелла, спеціалізовані для випадку із зарядом і струмом, що дорівнюють нулю. Прийняття вихрів рівнянь завитки дає:

Ми можемо використовувати векторну ідентичність

де V - будь-яка векторна функція простору. І

де V - діада, яка при дії оператора розбіжності ∇ ⋅ дає вектор. Оскільки

тоді перший доданок справа в тотожності зникає, і ми отримуємо хвильові рівняння:

де

- швидкість світла у вільному просторі.

Коваріантна форма однорідного хвильового рівняння[ред. | ред. код]

Розширення часу в поперечному русі. Вимога про постійну швидкість світла в кожній інерційній системі відліку призводить до спеціальної теорії відносності .

Ці релятивістські рівняння можна записати у противаріантній формі як

де електромагнітний чотирипотенціал

з каліброваною умовою Лоренца :

і де

є оператором д'Аламбера.

Однорідне хвильове рівняння в криволінійному просторі-часі[ред. | ред. код]

Рівняння електромагнітної хвилі модифікується двома способами, похідна замінюється коваріантною похідною і з'являється новий доданок, який залежить від кривизни.

де є тензором кривизни Річчі, а крапка з комою вказує на коваріантну диференціацію.

Припускається узагальнення каліброваної умови Лоренца в кривому просторі-часі:

Рівняння неоднорідної електромагнітної хвилі[ред. | ред. код]

Локалізовані в часі змінні густини заряду і струму можуть виступати джерелами електромагнітних хвиль у вакуумі. Рівняння Максвелла можна записати у вигляді хвильового рівняння з джерелами. Додавання джерел до хвильових рівнянь робить диференціальні рівняння з частинними похідними неоднорідними.

Рішення однорідного рівняння електромагнітної хвилі[ред. | ред. код]

Загальним рішенням рівняння електромагнітної хвилі є лінійна суперпозиція хвиль виду

для практично будь -якої належної функції g безрозмірного аргументу φ, де ω - кутова частота (у радіанах за секунду), а k = (kx, ky, kz) - хвильовий вектор (у радіанах на метр).

Хоча функція g може бути і часто є монохроматичною синусоїдою, вона не повинна бути синусоїдальною або навіть періодичною. На практиці g не може мати нескінченну періодичність, оскільки будь-яка реальна електромагнітна хвиля завжди повинна мати кінцевий ступінь у часі та просторі. Як результат, на основі теорії розкладання Фур'є, реальна хвиля повинна складатися з суперпозиції нескінченного набору синусоїдальних частот.

Крім того, для дійсного рішення хвильовий вектор і кутова частота не є незалежними; вони повинні дотримуватися дисперсійного відношення :

де k - число хвилі, а λ - довжина хвилі . Змінна c може бути використана в цьому рівнянні лише тоді, коли електромагнітна хвиля знаходиться у вакуумі.

Монохроматичний, синусоїдальний стаціонарний стан[ред. | ред. код]

Найпростіший набір рішень хвильового рівняння випливає з припущення синусоїдальних сигналів однієї частоти у відокремлюваній формі:

де

i - уявна одиниця ,
ω = 2πf- кутова частота в радіанах за секунду ,
f- частота в герцах, і
- формула Ейлера .

Рішення плоских хвиль[ред. | ред. код]

Розглянемо площину, визначену одиничним нормальним вектором

Тоді площинні хвильові розв'язки хвильових рівнянь є

де r = (x, y, z) - вектор положення (у метрах).

Ці рішення представляють плоскі хвилі, що рухаються в напрямку нормального вектора n . Якщо визначити напрямок z як напрямок n . і напрям x як напрямок E, тоді за законом Фарадея магнітне поле лежить в напрямку y і пов'язане з електричним полем відношенням

Оскільки розбіжності електричного та магнітного полів дорівнюють нулю, полів у напрямку розповсюдження немає.

Це рішення є лінійно поляризованим рішенням хвильових рівнянь. Існують також циркулярно поляризовані розчини, в яких поля обертаються навколо нормального вектора.

Спектральне розкладання[ред. | ред. код]

Через лінійність рівнянь Максвелла у вакуумі розчини можна розкласти на суперпозицію синусоїд . Це основа для методу перетворення Фур'є для розв'язку диференціальних рівнянь. Синусоїдальний розчин рівняння електромагнітної хвилі набуває вигляду

де

t - час (у секундах),
ω - кутова частота (в радіанах за секунду),
k = (kx, ky, kz) - хвильовий вектор (в радіанах на метр), і
- фазовий кут (у радіанах).

Хвильовий вектор пов'язаний з кутовою частотою на

де k - число хвилі, а λ - довжина хвилі .

Електромагнітний спектр - це графік величин поля (або енергій) як функції довжини хвилі.

Багатополюсне розширення[ред. | ред. код]

Припускаючи, що монохроматичні поля змінюються в часі як , якщо використовувати рівняння Максвелла для усунення B, рівняння електромагнітної хвилі зводиться до рівняння Гельмгольца для E :

з k = ω / c, як зазначено вище. Як варіант, можна виключити E на користь B щоб отримати:

Загальне електромагнітне поле з частотою ω можна записати як суму розв’язків цих двох рівнянь. Тривимірні рішення рівняння Гельмгольца можна виразити як розкладання сферичних гармонік з коефіцієнтами, пропорційними сферичним функціям Бесселя . Однак застосування цього розширення до кожної векторної складової E або B дасть рішення, які загалом не мають розбіжностей ( · E = · B = 0 ), а отже, вимагають додаткових обмежень на коефіцієнти.

Багатополюсне розширення обходить цю складність, розширюючи не E або B, а r · E або r · B в сферичні гармоніки. Ці розширення все ще вирішують вихідні рівняння Гельмгольца для E та B оскільки для поля, що не розходиться, F, 2 (r · F) = r · (∇2 F) . Отримані вирази для загального електромагнітного поля є:

,

де і - електричні багатополюсні поля порядку (l, m), і і - відповідні магнітні багатополюсні поля, а aE(l, m) та aM(l, m) - коефіцієнти розширення. Багатополюсні поля задаються

,

де h l (1,2) ( x ) - сферичні функції Ганкеля, E l (1,2) та B l (1,2) визначаються граничними умовами, і

- векторні сферичні гармоніки, нормовані так, що

Багатополюсне розширення електромагнітного поля знаходить застосування в ряді проблем, що включають сферичну симетрію, наприклад, діаграми випромінювання антен або ядерний гамма-розпад . У цих додатках часто цікавить потужність, що випромінюється в далекому полі . У цих регіонах поля E та B асимптотують до

Тоді кутовий розподіл усередненої за часом потужності випромінювання визначається як

Дивитися також[ред. | ред. код]

Теорія та експеримент[ред. | ред. код]

Програми[ред. | ред. код]

Біографії[ред. | ред. код]

Примітки[ред. | ред. код]

  1. Maxwell 1864, page 497.
  2. See Maxwell 1864, page 499.

Подальше читання[ред. | ред. код]

Електромагнетизм[ред. | ред. код]

Журнальні статті[ред. | ред. код]

  • Максвелл, Джеймс Клерк, " Динамічна теорія електромагнітного поля ", Філософські угоди Лондонського королівського товариства 155, 459-512 (1865). (Ця стаття супроводжувала презентацію Максвелла 8 грудня 1864 р. Перед Королівським товариством. )

Підручники для студентів[ред. | ред. код]

Підручники вищого рівня[ред. | ред. код]

Векторні числення[ред. | ред. код]

  • PC Matthews Vector Calculus, Springer 1998,ISBN 3-540-76180-2
  • Х. М. Шей, Дів Град Керл і все таке: Неформальний текст про векторне числення, 4-е видання (WW Norton & Company, 2005)ISBN 0-393-92516-1 .