Рівність Парсеваля

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Рівність Парсеваля — аналог теореми Піфагора у векторних просторах з скалярним добутком. Початково подібне твердження для простору періодичних функцій, було сформульоване Парсевалем у 1799 році.

Формулювання[ред.ред. код]

Якщо X — нормований сепарабельний векторний простір зі скалярним добутком і — відповідна йому норма і — ортонормована система в X , тобто

то рівністю Парсеваля для елемента називається рівність

Виконання рівності Парсеваля для даного елементу є необхідною і достатньою умовою того, щоб ряд Фур'є цього елементу по ортонормованій системі сходився до самого елемента x по нормі простору X. Виконання рівності Парсеваля для будь-якого елемента є необхідною і достатньою умовою для того, щоб ортогональна система була повною системою в X.

Гільбертові простори[ред.ред. код]

Нехай дано сепарабельний гільбертів простір , де скалярний добуток, визначений на множині . Тоді якщо ортонормований базис в , то рівність Парсеваля виконується для всіх

Також, якщо і і то:

Рівність Парсеваля узагальнюється і на випадок несепарабельних гільбертових просторів: якщо (для деякої множини індексів B), є повною ортонормованою системою гільбертового простору X, то для будь-якого елементу справедлива рівність Парсеваля:

Див. також[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]