Рівність змішаних похідних

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Означення[ред.ред. код]

Нехай дано достатньо гладку (скалярну) функцію багатьох змінних:

Ми можемо взяти частинну похідну цієї функції по одному з аргументів , вважаючи решту аргументів постійними параметрами. В результаті ми одержимо нову функцію:

Звичайно, ця нова функція теж залежить від решти аргументів, як від параметрів. Тобто чисельне значення в загальному випадку залежить від усіх тих змінних , що і оригінальна функція :

Якщо функція виявиться досить гладкою, то ми можемо і її продиференціювати, взявши частинну похідну по тому самому, або по іншому аргументу :

Якщо , то вираз в правій частині рівності (4) називається мішаною похідною.

Основа теореми[ред.ред. код]

Для достатньо гладкої функції багатьох змінних значення мішаної похідної не залежить від порядку диференціювання:

Хвіст теореми[ред.ред. код]

Теорема буде не повною, якщо не визначити, що означають слова «достатньо гладка функція».

Я навмисне розділив цю теорему на основу і «хвіст», оскільки ця теорема є базовою в теорії функцій багатьох змінних і широко застосовується в математичній фізиці, теорії диференціальних рівнянь з частинними похідними, диференціальній геометрії. Тому цю теорему доцільно запамятати. Основа теореми досить коротка для запамятовування. Але «хвіст» з поможливості точною вказівкою гладкості не такий короткий як хотілось би.

Будемо уточнювати необхідну міру гладкості поетапно. 1. Для аналітичної функції теорема справедлива. 2. Як побачимо в ході доведення, теорема справедлива і для ширшого класу функцій, які мають в околі точки тільки такі неперервні похідні

3. Оскільки для фіксованих індексів всі похідні із переліку (6) беруться при умові, що будь-який третій аргумент є константою, то функція (а також усі похідні (6)) може бути розривною щодо третіх аргументів. Наприклад, складемо функцію з двох доданків:

де перший доданок є гладкою функцією двох аргументів, а другий доданок розривний у всіх точках.

Подальше уточнення гладкості функції ми будемо робити в ході доведення теореми, і сформулюємо в самому кінці. Перетворення в ході доведення ми робитимемо неспішно, занотовуючи після кожного перетворення курсивом умови на функцію, за яких це перетворення справедливе.

Доведення теореми[ред.ред. код]

Як ми щойно вияснили, для доведення теореми можна не розглядати залежність функції від третіх аргументів. Тому для простоти запису змінимо позначення на , тобто будемо розглядати таку функцію двох змінних:

Також для спрощення формул позначатимемо частинні похідні індексами внизу функції:

Нехай в точці існує мішана похідна:

Ми припускаємо, що мішана похідна існує в точці , і заодно існує перша похідна вздовж (горизонтальної) прямої

Далі, різниця похідних дорівнює похідній від різниці, тому перетворюємо формулу (9) в:

Це перетворення ніяких додаткових умов не накладає, оскільки різниця диференційовних функцій завжди є функцією диференційовною (навпаки було б невірно, бо навіть гладку функцію можна записати у вигляді суми чи різниці двох розривних функцій).

Далі, різницю в квадратних дужках формули (10) можна записати у вигляді визначеного інтеграла від похідної:

Потрібно, щоб існувала частинна похідна вздовж прямої

Тепер частинну похідну по ігреку в формулі (11) запишемо згідно з означенням похідної як границі:

Як бачимо, треба щоб частинна похідна існувала не лише на прямій , але в деякому двомірному околі точки .

Далі, різниця інтегралів дорівнює інтегралу від різниці, до того ж під знак інтеграла можна внести постійний множник

Це перетворення також не накладає додаткових умов, оскільки різниця інтегровних функцій є функцією інтегровною.

За теоремою Лагранжа, підінтегральний вираз у формулі (13) дорівнює похідній у середній точці:

Середня точка, звичайно, є функцією:

значення якої лежать в інтервалі (якщо наприклад )

Для справедливості (14) потрібно існування мішаної похідної в деякому двомірному околі точки .

Для закінчення доведення нам треба прийняти, що мішана похідна неперервна в точці як функція двох змінних. Значення цієї похідної в бизькій точці дорівнює з точністю до наскінченно малого доданка значенню похідної в точці :

Мішана похідна існує в двомірному околі точки і неперервна в цій точці як функція двох змінних.

Підставимо (14) і (15) в (13).

Замітимо, що (хоч і в інших позначенях) формула (16) еквівалентна формулі (13), а тому інтеграл і обидві границі існують. Оскільки підінтегральна функція в (16) інтегровна, а перший доданок є константою щодо змінної інтегрування , то другий доданок теж виявляється інтегровним, і ми можемо розбити наш інтеграл на суму двох інтегралів, перший з яких легко береться як інтеграл від константи:

Після підстановки (17) в (16) ми можемо винести постійний доданок спочатку за межі першої границі, а потім за межі іншої границі:

Покажемо, що другий доданок в останньому виразі формули (18) дорівнює нулю. Візьмемо довільне додатне число . Неперервність мішаної похідної в точці означає, що існує таке додатне число , що для кожної точки всередині квадрата справедлива нерівність:

Якщо ми візьмемо додатні числа , то інтеграл в останньому доданку формули (18) оцінюється зверху:

тому і весь цей доданок (позначимо його ) оцінюється зверху:

Аналогічно (якщо взяти ), маємо оцінку знизу:

Оскільки додатне число може бути як завгодно малим, то з необхідністю слідує . Теорему доведено.

Закінчення хвоста теореми[ред.ред. код]

Як ми бачимо з нотатків (виділених курсивом) в ході доведення, від функції вимагається існування одної мішаної похідної (наприклад ) в точці, а також існування другої мішаної похідної в двомірному околі точки і її неперервність в цій точці. Із цієї умови також слідує існування похідної вздовж відрізка прямої , і існування похідної в двомірному околі точки.

До речі, існування в точці слідує з двох фактів: (а) існує похідна вздовж відрізка прямої , що проходить через точку ; (б)мішана похідна існує і неперервна в цій точці.
Це можна помітити переглянувши хід доведення (не поспішати переходити до границі аж до формули (18)).

Приклад[ред.ред. код]

Розглянемо функцію

Де функція Діріхле дорівнює нулю в раціональних точках і одиниці в ірраціональних. Функція (23) визначена на всій площині; неперервна (як функція двох змінних) вздовж прямої і розривна в усіх інших точках площини.
Скрізь існує і неперервна частинна похідна:

а також одна з мішаних похідних:

Частинна похідна по ігреку існує лише в точках прямої :

Також в цих же точках прямої існує друга мішана похідна:

Як бачимо, для точок прямої умови теореми виконуються, і обидві мішані похідні рівні.

Контрприклад[ред.ред. код]

Розглянемо функцію двох змінних

де буквами позначені деякі ненульові параметри. Формула (28) задає неперервну функцію всюди на площині за винятком початку координат . Ми можемо довизначити функцію в початку координат

Ця довизначена функція буде неперервною також і в початку координат, що можна бачити, представивши формулу (28) в полярній системі координат (і спрямовуючи ):

Покажемо, що для цієї довизначеної функції мішані похідні в початку координат існують, але не рівні між собою.

Спочатку обчислимо перші похідні . Як проміжний результат, замітимо, що функція «куб модуля» двічі диференційовна, і її перша та друга похідні обчислюються за формулами:

Тепер, враховуючи (28) і (31), запишемо перші похідні функції в точці площини, відмінній від початку координат ():

Можна також обчислити перші похідні в початку координат, виходячи з означення похідної:

Аналогічно

Перші похідні існують і неперервні на всій площині .

Перейдемо тепер до обчислення мішаних похідних в початку координат:

Аналогічне обчислення дає:

Легко бачити, що формули (34) і (35) дають різні результати, якщо:

Причина цієї нерівності в тому, що не виконується умова теореми — обидві мішані похідні (хоча існують скрізь) є розривними в початку координат.

Можна також розглянути функцію

Спрощене доведення для аналітичних функцій[ред.ред. код]

Аналітична функція двох змінних (принаймні локально) розкладається в збіжний степеневий ряд:

Як відомо, степенний ряд можна диференціювати почленно в межах його радіуса збіжності. Таким чином знаходимо перші похідні:

Повторне диференціювання (38) і (39) дає одну й ту ж формулу для обох мішаних похідних: