Ріманова геометрія

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Ріманова геометрія є розділом диференціальної геометрії, який вивчає ріманові многовиди, гладкі многовиди з рімановою метрикою, тобто зі скалярним добутком на дотичному просторі в кожній точці, яка змінюється плавно від точки до точки. Це зокрема, дозволяє ввести локальні поняття кута, довжини кривої, площі поверхні та об'єму. З цих локальних глобальні величини можуть бути отримані шляхом інтегрування локальних складових.

Ріманова геометрія виникла з бачення Бернгарда Рімана, викладеного в його інавгураційній лекції Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen (Про гіпотези, що лежать в основі геометрії). Це дуже широке і абстрактне узагальнення диференціальної геометрії поверхонь в R3. Розвиток ріманової геометрії є результатом синтезу різних результатів, що стосуються геометрії поверхонь і поведінки геодезичних ліній на них, з методами, які можуть бути застосовані для вивчення диференційовних многовидів вищих розмірностей. Це уможливило загальну теорію відносності Ейнштейна, яка глибоко вплинула на теорію груп і теорію представлень, так само як і на аналіз[en], і стимулювала розвиток алгебричної і диференціальної топології.

Введення[ред.ред. код]

Ріманова геометрія була вперше винесена на загал Бернгардом Ріманом у дев'ятнадцятому столітті. Вона має справу з широким спектром геометрій, метричні властивості яких змінюються від точки до точки, в тому числі стандартних типів неевклідової геометрії.

На будь-якому гладкому многовиді можна ввести ріманову метрику, яка часто допомагає вирішити проблеми диференціальної топології. Вона також слугує початковим рівнем для більш складної структури — псевдоріманових многовидів, які (в чотирьох вимірах) є основними об'єктами загальної теорії відносності. Інші узагальнення ріманової геометрії включають фінслерову геометрію.

Існує близька аналогія диференціальної геометрії з математичними структурами дефектів у звичайних кристалах. Дислокації та дисклінації породжують кривину і скрут.[1][2]

Наступні статті містять корисний вступний матеріал до ріманової геометрії:

Класичні теореми в рімановій геометрії[ред.ред. код]

Далі наведено неповний список найбільш класичних теорем в рімановій геометрії. Вибір зроблений залежно від її важливості, краси і простоти формулювання. Більшість результатів можна знайти в класичній монографії Джеффа Чігера[en] і Д. Ебіна (див. нижче).

Наведені формулювання далеко не самі точні або більш загальні. Цей список орієнтований на тих, кому відомі основні визначення і хоче знати, про що ці визначення.

Загальні теореми[ред.ред. код]

  1. Теорема Гауса — Бонне — інтеграл від Гаусової кривини на компактному 2-вимірному рімановому многовиді M дорівнює 2πχ(M) де χ(M) позначає Ейлерову характеристику M. Ця теорема має узагальнення на будь-якому компактному парномірному рімановому мновиді, див. узагальнена теорема Гауса-Бонне[en].
  2. Теорема Неша про регулярні вкладення[ru], також її називають фундаментальною теоремою геометрії Рімана[en]. Вона стверджує, що кожен Ріманів многовид можна ізометрично вкласти в Евклідів простір Rn.

Геометрія в цілому[ред.ред. код]

У всіх наступних теоремах ми припускаємо деяку локальну поведінку простору (зазвичай сформульовані припущенням про кривину), щоб отримати деяку інформацію про глобальну структуру простору, в тому числі будь-яку інформацію про топологічний тип многовиду або про поведінку точок на «достатньо великих» відстанях.

Затиснена секційна кривина[ред.ред. код]

  1. Теорема про сферу[en]. Якщо M є компактний однозв'язний n-вимірний ріманів многовид з секційною кривиною затиснутою між 1/4 і 1, то M дифеоморфний сфері.
  2. Теорема скінченності Чігера. Для заданих констант C, D і V, існує скінченне число (з точністю до дифеоморфізмів) — компактних n-мірних ріманових многовидів з секційною кривиною |K| ≤ C, діаметром ≤ D та об'ємом ≥ V.
  3. Майже плоскі многовиди Громова[en]. Існує εn >0 таке, що якщо n-мірний рімановий многовид має метрику з секційною кривиною |K| ≤ εn та діаметр ≤ 1, то його скінченне покриття дифеоморфне ніл-многовиду[en].

Секційні кривини обмежені знизу[ред.ред. код]

  1. Теорема душі[ru] Чігера-Громолла. Якщо M є некомпактний повний n-мірний ріманів многовид невід'ємної кривини, то M містить компактний, цілком геодезичний підмноговид S такий, що M дифеоморфне нормальному шаруванню S (S називається душею M.) Зокрема, якщо M має строго додатну кривину всюди, то воно дифеоморфно Rn. Г. Перельман в 1994 році дав дивно елегантний/короткий доказ гіпотези: M дифеоморфно Rn якщо воно має додатну кривину хоча б в одній точці.
  2. Теорема Громова про число Бетті. Існує константа C = C(n) така, що якщо M є компактним зв'язним n-мірним рімановим многовидом з додатною секційною кривиною, то сума його чисел Бетті максимально C.
  3. Теорема обмеженості Грува-Петерсена. Для заданих констант C, D і V, існує скінченне число гомотопних типів компактних n-мірних Ріманових многовидів з секційною кривиною KC, діаметром ≤ D та об'ємом ≥ V.

Секційні кривини обмежені зверху[ред.ред. код]

  1. Теорема Картана-Адамара[en] стверджує, що повний однозв'язний Ріманів многовид M з від'ємною секційною кривиною дифеоморфний Евклідовому простору Rn з n = dim M за допомогою експоненціального відображення[en] в будь-якій точці. Це означає, що будь-які дві точки однозв'язних повних ріманових многовидів з від'ємною секційною кривиною з'єднані єдиною геодезичною кривою.
  2. Геодезичний потік будь-якого компактного ріманового многовиду з від'ємною секційною кривиною ергодичний.
  3. Якщо M є повним рімановим многовидом з секційною кривиною, обмеженою зверху строго від'ємною константою k то це CAT(k) простір[en]. Тому, його фундаментальна група Γ = π1(M) є гіперболічною групою Громова[en]. Це має багато наслідків для структури фундаментальної групи:

Кривина Річчі обмежена знизу[ред.ред. код]

  1. Теорема Майерса[en]. Якщо компактний ріманів многовид має додатну кривину Річчі, то його фундаментальна група скінченна.
  2. Теорема розщеплення[en]. Якщо повний n-мірний Ріманів многовид має невід'ємну кривину Річчі і пряму лінію (тобто геодезичну, яка мінімізує відстань на кожному відрізку), то він ізометрічний прямому добутку числової прямої та повного (n-1)-мірного ріманового многовиду, з невід'ємною кривиною Річчі.
  3. Нерівність Бішопа-Громова[en]. Об'єм метричної кулі з радіусом r в повному n-вимірному рімановому многовиді з додатною кривиною Річчі не перевищує об'єм кулі того ж радіуса r в Евклідовому просторі.
  4. Теорема Громова про компактність[en]. Множина ріманових многовидів з додатними кривинами Річчі, діаметром не більше D є пред-компактом в метриці Громова-Хаусдорфа[en].

Від'ємна кривина Річчі[ред.ред. код]

  1. Ізометрична група компактного ріманового многовиду з від'ємною кривиною Річчі є дискретною.
  2. На будь-якому гладкому многовиду вимірності n≥3 можна ввести ріманову метрику з від'ємною кривиною Річчі[3] (Це невірно для поверхонь.)

Додатна скалярна кривина[ред.ред. код]

  1. n-мірний тор не допускає метрику з додатною скалярною кривиною.
  2. Якщо радіус ін'єктивності компактного n-мірного ріманового многовиду ≥ π тоді середня скалярна кривина не перевищує n(n-1).

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  1. Кляйнерт Хаген. Gauge Fields in Condensed Matter Vol II. — 1989. — С. 743–1440.
  2. Кляйнерт Хаген. Multivalued Fields in Condensed Matter, Electromagnetism, and Gravitation. — 2008. — С. 1-496.
  3. Йоахім Лоукамп показав (Annals of Mathematics, 1994), що будь-який многовид розмірності, більше двох допускає метрику від'ємної кривини Річчі.

Посилання[ред.ред. код]

Книги
  • Берже, Марсель (2000). Ріманова геометрія протягом другої половини ХХ століття. Цикл університетських лекцій 17. Род-Айленд: Американське математичне товариство. ISBN 0-8218-2052-4. . (Наводиться історичний огляд, в тому числі сотні посилань.)
  • Чігер, Джефф (2008). Теореми порівняння в Рімановій геометрії. Провіденс: AMS Chelsea Publishing. ; Переглянутий передрук оригіналу 1975 року.
  • Галлот, Сильвестр; Халін, Домінік; Лафонтен, Жак (2004). Ріманова геометрія. Університетський текст (вид. третє). Берлін: Спрінгер-Верлаг. .
  • Йост, Юрген (2002). Ріманова геометрія і геометричний аналіз. Берлін: Спрінгер-Верлаг. ISBN 3-540-42627-2. .
  • Петерсен, Пітер (2006). Ріманова геометрія. Берлін: Спрінгер-Верлаг. ISBN 0-387-98212-4. 
Документи
  • Брендл, Саймон; Шоен, Річард М. (2007). Класифікація многовидів із слабкими 1/4-затисненими кривинами. arXiv:0705.3963.