Сепарабельний простір

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Сепарабельним простором у математиці називається топологічний простір в якому міститься не більш ніж зліченна всюди щільна множина, тобто існує послідовність \{ x_n \}_{n=1}^{\infty} така, що будь-яка відкрита множина містить хоча б один елемент даної послідовності.

Властивості[ред.ред. код]

  • Будь-який відкритий топологічний підпростір сепарабельного топологічного простору теж є сепарабельним. Для загального підпростору подібне твердження є невірним.
  • Будь-який топологічний простір є підпростором сепарабельного простору тієї ж кардинальності.
  • Неперервний образ сепарабельного простору є сепарабельним

Приклади[ред.ред. код]

  • Топологічний простір, який є скінченним чи зліченним є, очевидно, сепарабельним.
  • Дійсна пряма є сепарабельним простором, оскільки множина раціональних чисел є зліченною щільною підмножиною.
  • Будь-який компактний метричний простір є сепарабельним.
  • Гільбертів простір є сепарабельним тоді й лише тоді коли він має зліченний ортонормальний базис.

Див. також[ред.ред. код]