Середнє степеневе

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Сере́днє сте́пеня p (среднє степеневе, узагальнене середнє) — узагальнення середнього арифметичного, середнього геометричного, середнього квадратичного, середнього гармонічного.

Визначення[ред.ред. код]

Якщо pдійсне число не рівне нулю, можна визначити середнє степеня p для будь-яких додатніх чисел x_1,\dots,x_n \! як:

M_p(x_1,\dots,x_n) = \left( \frac{1}{n} \cdot \sum_{i=1}^n x_i^p \right)^{1/p}.

Через граничний перехід довизначаються такі величини:

M_0(x_1, \ldots, x_n) = \lim_{p\to 0} M_p(x_1, \ldots, x_n) = \sqrt[n]{x_1\cdot\dots\cdot x_n}
M_{-\infty}(x_1, \ldots, x_n) = \lim_{p\to -\infty} M_p(x_1, \ldots, x_n) = \min\{ x_1, \ldots, x_n \}
M_{+\infty}(x_1, \ldots, x_n) = \lim_{p\to +\infty} M_p(x_1, \ldots, x_n) = \max\{ x_1, \ldots, x_n \}

Часткові випадки[ред.ред. код]

Геометричний зміст середніх значень для двох чисел.

M_{-1}(x_1,\dots,x_n) = \frac{n}{\frac{1}{x_1}+\dots+\frac{1}{x_n}}   — середнє гармонійне (HM),

M_0(x_1,\dots,x_n) = \sqrt[n]{x_1\cdot\dots\cdot x_n}   — середнє геометричне (GM),

M_1(x_1,\dots,x_n) = \frac{x_1 + \dots + x_n}{n}   — середнє арифметичне (AM),

M_2(x_1,\dots,x_n) = \sqrt{\frac{x_1^2 + \dots + x_n^2}{n}}   — середнє квадратичне (RMS).

Нерівності[ред.ред. код]

  • Якщо p < q \!, тоді M_p(x_1,\dots,x_n) \le M_q(x_1,\dots,x_n), і рівність наступає тільки при x_1=x_2=\dots=x_n \!.

Це слідує з того, що \forall p \in \mathbb{R}: \frac{\partial M_p(x_1,\dots,x_n)}{\partial p}\geq 0, що може бути доведено за допомогою нерівності Йєнсена.

  • Частковим випадком попередньої нерівності є:

 \min\{ x_1, \ldots, x_n \} \le
 \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \ldots + \frac{1}{x_n}} \le
 \left( x_1\cdot\ldots\cdot x_n\right)^{1/n} \le
 \frac{x_1 + \ldots + x_n}{n} \le
\sqrt{\frac{x_1^2 + \dots + x_n^2}{n}} \le
 \max\{ x_1, \ldots, x_n \}.

Дивись також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]

  • Э.Беккенбах, Р. Беллман (1965). Неравенства. Москва: Мир. с. 276 с.