Сигма-адитивність

Сигма-адитивність або зліченна адитивність функції (часто міри) означеної на підмножинах заданої множини — це абстракція того, як інтуїтивні властивості розміру множини (довжина, площа, об'єм) сумуються коли розглядаємо багато об'єктів. Адитивність (або скінченна адитивність) — слабша умова ніж сигма-адитивність, тобто, сигма-адитивність тягне за собою адитивність.

Адитивність (або скінченна адитивність) функції на множині

Нехай $\mu$ — функція, означена на алгебрі множин $\scriptstyle {\mathcal {A}}$ зі значеннями у [−∞, +∞] (див. розширена дійсна пряма). Функція $\mu$ називається адитивною (або скінченно-адитивною), якщо для неперетинних множин A і B з $\scriptstyle {\mathcal {A}}$ маємо

$\mu (A\cup B)=\mu (A)+\mu (B).\,$

(Як наслідок цього адитивна функція не може набувати ані −∞, ані +∞ як значень, бо вираз ∞ − ∞ невизначений.)°

Використовуючи математичну індукцію можна довести, що адитивна функція задовольняє

$\mu \left(\bigcup _{n=1}^{N}A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{N}\mu (A_{n})$

для будь-яких множин $A_{1},A_{2},\dots ,A_{N}$ з $\scriptstyle {\mathcal {A}}$, які не перетинаються.

σ-адитивна функція на множині

Припустимо, що $\scriptstyle {\mathcal {A}}$ це σ-алгебра. Якщо для будь-якої послідовності $A_{1},A_{2},\dots ,A_{n},\dots$ попарно неперетинних множин з $\scriptstyle {\mathcal {A}}$, виконується

$\mu \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n})$,

кажуть, що μ — зліченно-адитивна (або σ-адитивна).
Будь-як σ-адитивна функція також адитивна, але не навпаки.

Приклади

Прикладом σ-адитивної функції може бути функція μ означена на булеані дійсних чисел, так що

$\mu (A)={\begin{cases}1&{\mbox{ якщо }}0\in A\\0&{\mbox{ якщо }}0\notin A.\end{cases}}$

Якщо $A_{1},A_{2},\dots ,A_{n},\dots$ це послідовність неперетинних множин дійсних чисел, тоді або жодна з них не містить 0, або лише одна. У будь-якому разі, рівність

$\mu \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n})$

дотримується.

Адитивна функція, яка не σ-адитивна

Приклад адитивної функції, яка не σ-адитивна, можна отримати розглянувши μ, означену на множинах дійсних чисел заданих такою формулою

$\mu (A)=\lim _{k\to \infty }{\frac {1}{k}}\cdot \lambda \left(A\cap \left(0,k\right)\right),$

де λ позначає міру Лебега і lim це банахова границя.

Адитивність цієї функції можна перевірити скориставшись лінійністю границі. Те, що ця функція не σ-адитивна випливає з такої послідовності неперетинних множин

$A_{n}=\left[n,n+1\right)$

для n=0, 1, 2, ... Об'єднання цих множин — це додатні дійсні числа, і μ цього об'єднання — одиниця, тоді як μ кожної окремої множини, це нуль, отже, і сума μ(A_n) також нуль, що дає контрприклад.