Сигнатура (лінійна алгебра)

Сигнату́ра — числова характеристика квадратичної форми або псевдоевклідового простору, в якому скалярний добуток задано за допомогою відповідної квадратичної форми.

Визначення

Кожна квадратична форма з дійсними коефіцієнтами може бути зведена за допомогою невиродженої лінійної заміни змінних до канонічного вигляду

$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{p}^{2}-x_{p+1}^{2}-x_{p+2}^{2}-\cdots -x_{p+q}^{2}.$

Різниця $p-q$ між числом додатних і від'ємних членів у цьому записі називається сигнатурою квадратичної форми. Числа p і q сигнатури не залежать від способів зведення форми до канонічного вигляду (закон інерції Сильвестра).

Сигнатуру квадратичної форми також записують у вигляді пари чисел $(p,q)$ у вигляді $(+\cdots +-\cdots -)$ з відповідним числом плюсів і мінусів.

Приклад

Квадратичну форму від двох змінних $x_{1}x_{2}$ можна звести до канонічного вигляду ${\tilde {x}}_{1}^{2}-{\tilde {x}}_{2}^{2},$, наприклад, за допомогою лінійної заміни змінних $x_{1}={\tilde {x}}_{1}+{\tilde {x}}_{2},$ $x_{2}={\tilde {x}}_{1}-{\tilde {x}}_{2}.$ Сигнатура цієї квадратичної форми дорівнює нулю або може бути записана у вигляді $(1,1)$ або у вигляді $(+-).$

Див. також

• Псевдоевклідів простір
• Простір Мінковського
• Квадратична форма

Література

• Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2025. — 757 с.(укр.)
• Гельфанд І. М. Лекції з лінійної алгебри. — 2025. — 248 с.(укр.)