Символ Похгаммера — позначення для спеціальної функції, яка задається добутком
- ,
де — невід'ємне ціле число, який ще називають зростаючим факторіалом. Використовується, наприклад, при означені гіпергеометричної функції.
В комбінаториці, символом позначають спадний факторіал
- ,
а зростаючий факторіал — символом .
Назва дана в честь німецького математика Лео Похгаммера (Leo August Pochhammer).
Якщо не обумовлено окремо, то надалі під символом розумітимемо зростаючий факторіал.
Перші декілька значень для невід'ємних цілих :
Часткові випадки:
Для символів Похгаммера виконується відношення:
Символ Похгаммера можна виразити через гамма-функцію
та через біноміальний коефіцієнт
Символ Похгаммера пов'язаний з числами Стірлінга першого роду :
Співвідношення між символами Похгаммера для парного то непарного індексу:
Відношення двох символів Похгаммера:
Похідна символу Похгаммера:
де — дигамма-функція.
Зростаючий та спадний факторіали[ред. | ред. код]
Тут будемо використовувати наступні позначення, прийняті в комбінаториці:
Спадний факторіал чисельно дорівнює кількості розміщень без повторень з по або (що те саме) кількості усіх ін'єктивних функцій з множини потужності в множину потужності .
Зростаючий та спадний факторіали пов'язані співвідношеннями
Спадний факторіал також можна виразити через гамма-функцію
та через біноміальний коефіцієнт
За допомогою спадного факторіала можна компактно виразити похідну -ого порядку від степеневої функції
Формула для добутку спадних факторіалів
Твірна функція спадного факторіалу
Символ Похгаммера можна узагальнити так
і називається k-символом Похгаммера.
Символ Похгамера можна також узагальнити на випадок довільної функції в такій формі:
У такому записі звичайний символ Похгаммера записується як
Також у комбінаториці використовується q-аналог символу Похгаммера або q-символ Похгаммера (не плутати з k-символом):
- Неможливо розібрати вираз (SVG (MathML можна ввімкнути через плагін браузера): Недійсна відповідь («Math extension cannot connect to Restbase.») від сервера «http://localhost:6011/uk.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle (x;q)_n = \prod_{k=0}^{n-1} (1-xq^k)=(1-x)(1-xq)(1-xq^2)\cdots(1-xq^{n-1}).}