Символ Похгаммера

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Символ Похгаммера — позначення для спеціальної функції, яка задається добутком

,

де  — невід'ємне ціле число, який ще називають зростаючим факторіалом. Використовується, наприклад, при означені гіпергеометричної функції.

В комбінаториці, символом позначають спадний факторіал

,

а зростаючий факторіал — символом .

Назва дана в честь німецького математика Лео Похгаммера (Leo August Pochhammer).

Якщо не обумовлено окремо, то надалі під символом розумітимемо зростаючий факторіал.

Приклади[ред. | ред. код]

Перші декілька значень для невід'ємних цілих :

Часткові випадки:

Властивості[ред. | ред. код]

Для символів Похгаммера виконується відношення:

Символ Похгаммера можна виразити через гамма-функцію

та через біноміальний коефіцієнт

Символ Похгаммера пов'язаний з числами Стірлінга першого роду :

Співвідношення між символами Похгаммера для парного то непарного індексу:

Відношення двох символів Похгаммера:

Похідна символу Похгаммера:

де дигамма-функція.

Зростаючий та спадний факторіали[ред. | ред. код]

Тут будемо використовувати наступні позначення, прийняті в комбінаториці:

  • Зростаючий факторіал
  • Спадний факторіал

Спадний факторіал чисельно дорівнює кількості розміщень без повторень з по або (що те саме) кількості усіх ін'єктивних функцій з множини потужності в множину потужності .

Зростаючий та спадний факторіали пов'язані співвідношеннями

Спадний факторіал також можна виразити через гамма-функцію

та через біноміальний коефіцієнт

За допомогою спадного факторіала можна компактно виразити похідну -ого порядку від степеневої функції

Формула для добутку спадних факторіалів

Твірна функція спадного факторіалу

Узагальнення[ред. | ред. код]

Символ Похгаммера можна узагальнити так

і називається k-символом Похгаммера.

Символ Похгамера можна також узагальнити на випадок довільної функції в такій формі:

У такому записі звичайний символ Похгаммера записується як

Також у комбінаториці використовується q-аналог символу Похгаммера або q-символ Похгаммера (не плутати з k-символом):

Неможливо розібрати вираз (SVG (MathML можна ввімкнути через плагін браузера): Недійсна відповідь («Math extension cannot connect to Restbase.») від сервера «http://localhost:6011/uk.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle (x;q)_n = \prod_{k=0}^{n-1} (1-xq^k)=(1-x)(1-xq)(1-xq^2)\cdots(1-xq^{n-1}).}

Посилання[ред. | ред. код]