Симетричне відношення

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Властивості бінарних відношень:
\forall a,b,c \; \in{X}:

рефлексивність (a R a) \!
антирефлексивність \lnot(a R a) \!

симетричність a R b \Rightarrow b R a \!
асиметричність a R b \; \Rightarrow \lnot(b R a)

антисиметричність a R b \wedge b R a \Rightarrow a=b
транзитивність a R b \wedge b R c \Rightarrow a R c
антитранзитивність a R b \wedge b R c \Rightarrow \lnot(a R c)

повнота a R b \vee b R a \!


Бінарне відношення R на множини називається симетричним, якщо для кожної пари елементів множини (a,b ) виконання відношення (aRb) спричиняє виконання відношення (bRa ).

В математиці бінарне відношення R на множині X є симетричним, якщо для будь-яких a та b з X з того, що a знаходиться у відношенні з b, випливає, що b знаходиться у відношенні з a.

Формально:

\forall a, b \in X,\ a R b \Rightarrow \; b R a

Приклади[ред.ред. код]

Відношення "бути зарученим" є симетричним відношенням, а відношення "менше" - ні.

Рівність множини цілих дійсних  чисел

Звичайна рівність «=» на множині цілих дійсних чисел є симетричною, якщо з a = b випливає b = a. Воно також є відношенням еквівалентності. Не рівне співвідношення на множині цілих чисел при цьому не є відношенням еквівалентності, хоча й так само є симетричним, тому що з a ≠ b випливає b ≠ a.

Подібність трикутників 

Якщо трикутник ABC подібний до трикутника DEF, то трикутник DEF подібний до трикутника ABC. Відношення подоби трикутників є симетричним.Воно також є відношенням еквівалентності.

Рівність по модулю n

На множині цілих чисел задамо відношення "рівність по модулю n" у такий спосіб: два числа рівні по модулю n, якщо їхні залишки при діленні на n рівні. Наприклад, по модулю 5 рівні числа 2, 7, 12 і т.д. Це співвідношення є симетричним. Воно також є відношенням еквівалентності.

Властивості  зворотнього відношення

Відношення R на множині М називається симетричним, якщо це відношення з кожною парою (х,y) містить пари (y,х). Матриця такого відношення буде симетрична щодо головної діагоналі. Приклад: ‘=’,’≠’. Не є комутативним: ‘<=’,’>=’. Відношення симетрично тоді й тільки тоді, коли воно збігається зі своїм зворотнім відношенням: R^{-1}

Властивості[ред.ред. код]

Симетричність не є оберненою до антисиметричності.

Існують відношення, які одночасно є симетричними та антисиметричними: "дорівнює" (" = \! ").

Існують відношення які не є ані симетричними, ані антисиметричними:

Існують відношення, які є симетричними, але не антисиметричними: відношення подібності (конгруенція).

Існують відношення, які не є симетричними, але антисиметричні: "менше або дорівнює" (" \le \! ").

Симетричне відношення, яке є також транзитивним та рефлексивним називається відношенням еквівалентності.