Симетричний многочлен

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Симетричний многочленмногочлен від n змінних , що не змінюється при всіх перестановках змінних. Тобто многочлен від n змінних над комутативним кільцем R є симетричним якщо для довільної перестановки

справедлива рівність:

Симетричні многочлени утворюють підалгебру R-алгебри многочленів від n змінних над кільцем R.

Приклади[ред.ред. код]

Для двох змінних x1, x2 прикладами симетричних многочленів є:

для трьох змінних x1, x2, x3 наступний многочлен теж буде симетричним

Наступний многочлен буде симетричний для довільного n:

Натомість многочлен:

не є симетричним, оскільки після перестановки x1 і x2 одержується не рівний вихідному многочлен, x2 − x1.

Для трьох змінних прикладом несиметричного многочлена є:

Особливі види симетричних многочленів[ред.ред. код]

Степеневі симетричні многочлени[ред.ред. код]

Степеневими симетричними многочленами називаються суми k - их степенів змінних, тобто:

Елементарні симетричні многочлени[ред.ред. код]

Елементарні симетричні многочлени мають вигляд:

і так далі до

Для довільного многочлена можна записати:

Рівності Ньютона[ред.ред. код]

Між степеневими і елементарними функціями існує залежність:

Для перших кільком многочленів рівності мають вигляд:

Звідси також можна навпаки визначити степеневі симетричні функції через елементарні:

Теорема Вієта[ред.ред. код]

Докладніше: Теорема Вієта

Однією з причин широкого застосування елементарних симетричних многочленів є теорема Вієта:

Нехай P — многочлен із коефіцієнтами з деякого поля старшим коефіцієнтом рівним одиниці. У своєму алгебраїчному замиканні цей многочлен має кількість коренів рівну його степеню (з урахуванням кратності коренів) і можна записати:

тоді коефіцієнти P виражаються через елементарні симетричні многочлени від його коренів. А саме:

Фундаментальна теорема про симетричні многочлени[ред.ред. код]

Нехай R — комутативне кільце з одиницею. Тоді довільний симетричний многочлен від n змінних з коефіцієнтами з R, може бути записаний як многочлен від змінних з коефіцієнтами з R.

Доведення[ред.ред. код]

Для симетричного многочлена визначимо T = Th як множину усіх наборів чисел для яких коефіцієнт в не рівний нулю. Визначимо розмір h, як де є елементом T для якого є найбільшим з можливих, — найбільше з можливих при даному і т. д. Оскільки є симетричним, то якщо і тільки якщо кожна перестановка належить T. Звідси випливає, що . З використанням введеного поняття розміру всі елементи можна впорядкувати: якщо h1 має розмір і h2 має розмір тоді h1 > h2 якщо для деякого виконується і Елементи що мають розмір (0, 0, ..., 0) є константами, тобто елементами R.

Припустимо що є розміром деякого симетричного многочлена і . Для невід'ємних цілих чисел d1, ..., dn, розмір рівний . Взявши одержуємо, що розмір h рівний . Коефіцієнт при в h рівний одиниці. Звідси випливає, що існує елемент такий, що g − ah має менший розмір ніж g.

Як наслідок для довільного симетричного існують і такі, що має розмір (0, 0, ..., 0). Це завершує доведення теореми.

Посилання[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Курош А. Г. Курс высшей алгебры.-М.:Наука 1968, 331с
  • Прасолов В. В. Многочлены. — МЦНМО, 2003. — 336 с. — ISBN 5-94057-077-1