Симплектична матриця

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Симплектична матриця — в лінійній алгебрі квадратна матриця, порядок якої є парним числом, що є матрицею лінійного перетворення на симплектичному просторі, що зберігає симплектичну форму. Відповідне лінійне перетворення теж називається симплектичним.

Симплектичні перетворення і матриці є важливими в симплектичній геометрії, а також теорії груп Лі. Група всіх симплектичних матриць заданого порядку утворюють групу Лі, що називається симплектичною групою.

Означення[ред.ред. код]

Нехай симплектичний векторний простір і — його симплектична форма, тобто невироджена кососиметрична білінійна форма. Лінійне перетвореня називається симплектичним, якщо Матриця називається симплектичною, якщо вона є матрицею деякого симплектичного перетворення.

На просторі завжди можна вибрати базис, в якому де і — координати веторів і у цьому базисі. Якщо ввести на скалярний добуток при тих же позначеннях, то отримується рівність:

де блочна матриця виду

Визначник матриці рівний 1 і для неї справедливими є рівності

З цих властивостей можна отримати еквівалентне означення симплектичної матриці: матриця називається симплектичною, якщо для неї виконується рівність:

Для комплексних матриць зустрічаються різні означення симплектичних матриць, зокрема означення може бути таким, як і в попередній формулі в дійсному випадку або замість транспонування може використовуватися ермітове спряження

Властивості[ред.ред. код]

  • З формули і властивостей визначника відразу отримується результат, що Насправді для всіх симплектичних матриць
  • Якщо M матриця розмірності 2n×2n то її можна записати у виді

де A, B, C, D є матрицями розмірності n×n. Умова симплектичності M є еквівалентною умовам

  • З попереднього випливає, що квадратна матриця порядку 2 є симплектичною тоді і тільки тоді коли її визначник рівний 1.
  • В попередніх позначеннях обернена матриця рівна
  • При заміні базису, що задається матрицею , відбувається перетворення матриці
і нові симплектичні матриці пов'язані зі старими через перетворення.
  • Для додатноозначеної дійсної симплектичної матриці M існує матриця U у множині U(2n,R), для якої

де діагональні елементи матриці D є власними значеннями матриці M.[1]
  • Довільна дійсна симплектична матриця є добутком трьох матриць:

such де O і O' є одночасно симплектичними і ортогональними і D є додатноозначеною і діагональною.[3].

Див. також[ред.ред. код]

Примітки[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]