Симплектична матриця

Симплектична матриця — в лінійній алгебрі квадратна матриця, порядок якої є парним числом, що є матрицею лінійного перетворення на симплектичному просторі, що зберігає симплектичну форму. Відповідне лінійне перетворення теж називається симплектичним.

Симплектичні перетворення і матриці є важливими в симплектичній геометрії, а також теорії груп Лі. Група всіх симплектичних матриць заданого порядку утворюють групу Лі, що називається симплектичною групою.

Означення

Нехай $S$ — симплектичний векторний простір і $\omega$ — його симплектична форма, тобто невироджена кососиметрична білінійна форма. Лінійне перетворення $A$ називається симплектичним, якщо $\omega (AX,AY)=\omega (X,Y),\;\;\forall X,Y\in S.$ Матриця $M$ називається симплектичною, якщо вона є матрицею деякого симплектичного перетворення.

На просторі $S$ завжди можна вибрати базис, в якому $\omega (X,Y)=\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{n+i}-x_{n+i}y_{i},$ де $x_{i},\;i=1,\ldots ,2n$ і $y_{j},\;j=1,\ldots ,2n$ — координати веторів $X$ і $Y$ у цьому базисі. Якщо ввести на $S$ скалярний добуток $(X,Y)=\sum _{i=1}^{2n}x_{i}y_{i}$ при тих же позначеннях, то отримується рівність:

$\omega (X,Y)=(X,\Omega Y),$ де $\Omega$ — блочна матриця виду

$\Omega ={\begin{bmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\\\end{bmatrix}}$

Визначник матриці $\Omega$ рівний 1 і для неї справедливими є рівності $\Omega ^{-1}=\Omega ^{T}=-\Omega .$

З цих властивостей можна отримати еквівалентне означення симплектичної матриці: матриця називається симплектичною, якщо для неї виконується рівність:

$M^{\text{T}}\Omega M=\Omega \,.$

Для комплексних матриць зустрічаються різні означення симплектичних матриць, зокрема означення може бути таким, як і в попередній формулі в дійсному випадку або замість транспонування може використовуватися ермітове спряження $M^{*}.$

Властивості

• З формули $M^{\text{T}}\Omega M=\Omega \,$ і властивостей визначника відразу отримується результат, що $\det M=\pm 1.$ Насправді для всіх симплектичних матриць $\det M=1.$
• Якщо M матриця розмірності 2n×2n то її можна записати у виді

$M={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}$

де A, B, C, D є матрицями розмірності n×n. Умова симплектичності M є еквівалентною умовам

$A^{\text{T}}D-C^{\text{T}}B=I$

$A^{\text{T}}C=C^{\text{T}}A$

$D^{\text{T}}B=B^{\text{T}}D.$

• З попереднього випливає, що квадратна матриця порядку 2 є симплектичною тоді і тільки тоді коли її визначник рівний 1.
• В попередніх позначеннях обернена матриця рівна

$M^{-1}=\Omega ^{-1}M^{\text{T}}\Omega ={\begin{pmatrix}D^{\text{T}}&-B^{\text{T}}\\-C^{\text{T}}&A^{\text{T}}\end{pmatrix}}.$

• $-\delta _{ij}=\sum _{k=1}^{n}m_{k,i+n}m_{n+k,j}-m_{n+k,i+n}m_{n,j}-m_{k,i}m_{n+k,j}+m_{k,i}m_{k,j}$
• При заміні базису, що задається матрицею $A$, відбувається перетворення матриці

$\Omega \mapsto A^{\text{T}}\Omega A$

і нові симплектичні матриці пов'язані зі старими через перетворення.

$M\mapsto A^{-1}MA.$

• Для додатноозначеної дійсної симплектичної матриці M існує матриця U у множині U(2n,R), для якої

$M=U^{\text{T}}DU\quad {\text{for}}\quad D=\operatorname {diag} (\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n},\lambda _{1}^{-1},\ldots ,\lambda _{n}^{-1}),$
де діагональні елементи матриці D є власними значеннями матриці M.

• Для довільної дійсної симплектичної матриці M полярний розклад рівний :

$M=UR\quad {\text{for}}\quad U\in \operatorname {U} (2n,\mathbb {R} ){\text{ and }}R\in \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {R} )\cap \operatorname {Sym} _{+}(2n,\mathbb {R} ).$

• Довільна дійсна симплектична матриця є добутком трьох матриць:

$M=O{\begin{pmatrix}D&0\\0&D^{-1}\end{pmatrix}}O',$
such де O і O' є одночасно симплектичними і ортогональними і D є додатноозначеною і діагональною..

Див. також

• Симплектичний простір

Посилання

• Symplectic matrix на PlanetMath
• The characteristic polynomial of a symplectic matrix is a reciprocal polynomial на PlanetMath