Симплектичний простір — векторний простір S з заданою на ньому симплектичною формою
, тобто білінійною кососиметричною невиродженою 2-формою. А саме формою для якої для будь-яких
і скалярів
виконуються умови:



Дане означення має зміст для векторних просторів над полями характеристика яких не є рівною 2. Над полями характеристика яких є рівною 2 в означенні, як правило, вимагають сильнішу (і еквівалентну для полів іншої характеристики) вимогу, що для всіх векторів:

- Лінійне відображення L симплектичного простору називається симплектичним, якщо воно зберігає симплектична форму:

- Множина всіх симплектичних відображень простору S утворює групу, що називається симплектичною групою і позначається Sp(S).
- Матриця симплектичного відображення називається симплектичною матрицею.
- Підпростір s симплектичного простору S називається симплектичним, якщо обмеження симплектичної форми на s є невирождени.
- Два вектора
називаються косоортогональними, якщо

- Відзначимо, що будь-який вектор э косоортогональним самому собі.
- Косоортогональним доповненням підпростору
називається множина всіх векторів, косоортогональних будь-якому вектору з
.
- На просторі
із базисом позначеним як
існує стандартна симплектична форма, яка на базисних векторах задана як



- Матриця цієї симплектичної форми відповідно має вигляд
, де
— одинична матриця порядку n.
- Якщо вектори у цьому базисі записати через координати
то симплектична форма через координати записується як:

- або у векторно-матричній формі:

- Попередній приклад можна узагальнити для довільного простору
для поля
характеристика якого не є рівною 2 і кососиметричної матриці
(тобто
). Тоді для базису
симплектичну форму можна задати на базисних векторах як
Тоді у векторно-матричній формі через координати у цьому базисі симплектичну форму можна обчислити як:

- У комплексному просторі
можна задати білінійну кососиметричну форму за формулою
![{\displaystyle \left\langle u,w\right\rangle =\operatorname {Im} \left[u,w\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4aee1719649c391a34c63eaa0f711597dbbc78b1)
- де
— ермітова форма. Ця форма задає симплектичну структуру на просторі
розглянутому як дійсний простір
.
- Більш загально, якщо на дійсному векторному просторі
задані комплексна структура
(тобто лінійний ізоморфізм для якого
або
для всіх
) і узгоджена ермітова структура, тобто скалярний добуток на просторі
для якого додатково
для всіх
, то форма
є симплектичною. Вона очевидно є білінійною і також кососиметричною оскільки:

- Також вона є невиродженою адже для кожного ненульового
для скалярного добутку g значення
. Оскільки
є ізоморфізмом, то
є ненульовим вектором і 
- Навпаки для скінченновимірного дійсного простору
із симплектичною формою
існують комплексна структура
і ермітова структура
для яких
. Для визначення цих структур достатньо розглянути базис Дарбу
, як у розділі нижче і ввести на базисних векторах
і
, а скалярний добуток на базисних векторах ввести як:

- Для будь-якого простору V існує канонічна симплектична структура на просторі
, де
— простір спряжений до V. Для двох елементів цього простору
і
, де
, а
симплектична форма задається як:

Симплектичну структуру можна ввести на будь-якому векторному просторі розмірність якого є парним числом. Над полем характеристика якого не є рівною 2 на векторному просторі розмірність якого є непарним числом не існує невиродженої кососиметричної білінійної форми.
Справді ввівши деякий базис
білінійна форма однозначно задається за допомогою матриці
для якої
Тоді у термінах цієї матриці кососиметричність означає, що
, а невиродженість, що
Але для простору непарної розмірності випливає, що для кососиметричної форми
Тобто для простору непарної розмірності для матриці кососиметричної білінійної форми
отже форма є виродженою.
Всі симплектичні простори однакової розмірності є ізоморфними, тобто існує лінійний ізоморфізм який із своїм оберненим є симплектичними відображеннями. Розглянемо деякий вектор
. Оскільки
є невиродженою формою, то існує такий вектор
, що

Розглянемо косоортогональне доповнення до лінійної оболонки V векторів
і
. Це доповнення буде (2n - 2)-вимірним підпростором S, що не перетинається із V і обмеження
на нього є невиродженою формою. Отже, процес можна продовжити по індукції. Для простору непарної розмірності процес завершиться на одновимірному підпросторі, на якому
є виродженою формою, так що припущення про існування симплектичної структури було хибним. Для простору парної розмірності ми отримаємо базис
,
для якого

де
— символ Кронекера. Він називається канонічним базисом або базисом Дарбу. Наприклад у випадку дійсних векторних просторів із базисом Дарбу простір є ізоморфний простору
із симплектичною формою із першого прикладу.
У канонічному базисі матриця симплектичної форми набуде вигляду

де
— одинична матриця порядку n.
є симплектичною матрицею.
Розглянемо підпростір
і його косоортогональне доповнення
. Із невироджені
випливає, що:

Крім того,

У загальному випадку ці підпростору перетинаються. Виділяють 4 типи підпросторів:
- Симплектичні:
. Це вірно тоді і тільки тоді, коли обмеження
на W є невирожденим, тож таке означення симплектичних підпросторів збігається з даним вище. У відповідних координатах Дарбу W має вигляд

- Ізотропні:
. Підпростір є ізотропним тоді і тільки тоді, коли
тотожно дорівнює нулю на ньому. Будь-який одновимірний підпростір є ізотропним. У відповідних координатах Дарбу W має вигляд
.
- Коізотропні:
. W є коізотропним тоді і тільки тоді, коли
є невирожденою на фактор-просторі
. Будь-який підпростір корозмірності 1 є коізотропним. У відповідних координатах Дарбу W має вигляд

- Лагранжеві:
. W є лагранжевим тоді і тільки тоді, коли він одночасно є ізотропним і коізотропним. Будь-який ізотропний підпростір можна вкласти у лагранжів, а будь-який коізотропний підпростір містить лагранжів. У відповідних координатах Дарбу W має вигляд

Множина всіх лагранжевих підпросторів простору розмірності 2n утворює многовид, що називається лагранжевим грассманіаном
. Він є дифеоморфним многовиду класів суміжності унітарної групи
по ортогональній підгрупі
, при цьому

Нехай
є скінченновимірним (парної розмірності) векторним простором над полем дійсних чисел із симплектичною формою
. Комплексна структура
називається узгодженою із симплектичною структурою, якщо:
- для всіх
виконується рівність 
- білінійна форма
є скалярним добутком.
Для кожної симплектичної структури існує нескінченна кількість узгоджених комплексних структур. Зокрема можна розглянути довільний скалярний добуток
і ввести лінійні відображення
задані як
і
Оскільки
і
є невиродженими білінійними формами, то
є лінійними ізоморфізмами і можна ввести лінійний ізоморфізм
заданий як
За означенням тоді
Відображення A є кососиметричним адже
для всіх
Тому в ортонормованому базисі для скалярного добутку
цей оператор задається кососиметричною матрицею, яку теж можна позначити A. Тоді матриця
є симетричною і додатноозначеною оскільки
для всіх
Позначимо
і
. Тоді
є полярним розкладом матриці і оскільки матриця A як кососиметрична матриця є нормальною, то також
і відповідно
Також
тобто
визначає комплексну структуру і
тобто
є ортогональною матрицею тобто
для всіх
Для визначеної комплексної структури виконуються рівності:

Також якщо ввести білінійну форму

то з додатноозначеності матриці
випливає, що
є скалярним добутком і відповідно
задає узгоджену комплексну структуру.