Система рівнянь

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Система рівнянь — набір двох і більше рівнянь, заданих функціями багатьох змінних, які повинні задовольнятися одночасно. Систему рівнянь можна записати в загальному вигляді:

Розв'язком системи рівнянь називається набір чисел , які задовольняють усім рівнянням, тобто при підстановці їх у рівняння всі рівності перетворюються в тотожності.

Система рівнянь може мати або не мати розв'язків. Цих розв'язків може бути один, кілька або нескінченно багато. Нестрого, для визначення значень N змінних потрібно мати принаймні N рівнянь.

Розв'язування системи рівнянь[ред.ред. код]

У найпростішому випадку системи лінійних рівнянь методи розв'язку добре розроблені, а от для системи нелінійних рівнянь загальних підходів не існує. Кожна система особлива й потребує особливого аналізу. Метод підстановки й вилучення полягає в тому, щоб вибрати одне з рівнянь, виразити одну змінну в ньому через інші змінні й підставити цей вираз в інші рівняння. При цьому кількість рівнянь зменшиться. Продовжуючи цю процедуру, можна звести систему рівнянь до одного рівняння. Втім, така процедура не завжди можлива, оскільки не для кожного рівняння можна знайти аналітичний розв'язок. Ситуація ускладнюється ще й тим, що розв'язки окремих рівнянь можуть бути неоднозначні.

Іноді допомагає ітераційний метод. Для його застосування потрібно переписати систему рівнянь у формі задачі про нерухому точку. Це можна зробити різними способами, і від вдалого вибору залежить збіжність ітераційного процесу. Недоліком методу є те, що ним можна знайти тільки один розв'язок. Якщо система має кілька розв'язків, то кожна нерухома точка має свій басейн притягання, тобто знайдений розв'язок залежить від вибору початкової точки.

Деяке програмне забезпечення, що базується на інтервальних обчисленнях, зокрема безкоштовний interalg, здатне знаходити усі розв'язки системи рівнянь у заданому регіоні lbi <= xi <= ubi

Логіка[ред.ред. код]

Нехай та функції однієї змінної зі спільною областю визначення і спільною множиною прибуття (областю значень). Одномісний предикат заданий на множині , називається рівнянням з однією невідомою і позначається множина називається областю допустимих значень невідомого . Кожний елемент для якого , називається рішенням (коренем) рівняння. Тобто сукупність усіх рішень рівняння є множина істинності предиката. Якщо множина істиності предиката пуста (), то рівняння не має рішень в . Якщо множина істиності предиката дорівнює , то рівняння є тотожною рівністю на .

У елементарній математиці розглядають лише такі рівняння, у яких та - числові фунції числового аргумента (тобто та - підмножини множини або ). Але у сучачній науці більшу роль грають також рівняння, у яких невідоме, а також значення утворюючих ці рівняння функцій - не числа, а обєкти іншої природи (фунції, матриці і т.д.). Потрібно лише, щоб фунції та загальну область визначення Х і загальну множину прибуття У. Якщо a , то варто прийняти . Якщо , то предикат заданий на пустій множині, або рівняння має пусту область допустими значень. Якщо , то предикат тотожно брехливий, оскільки рівність елементів i неможлива ні для одного .

Приклади[ред.ред. код]
  • Розглянемо нерівність з областю допустимих значень в . Ця нерівність рівносильна системі:

Знайдемо область допустимих значень невідомого :

Відповідь:

  • Рівняння з ОДЗ в рішень немає, оскільки значення предикату при будь-якому є брехливе висловлювання. Якщо розглянути рівняння з ОДЗ в , то множина його рішень не пуста:

Посилання[ред.ред. код]