Скінченновимірний простір
Скінченнови́мірний про́стір — це векторний простір, у якому є скінченний базис — породжувальна (повна) лінійно незалежна система векторів. Іншими словами, в такому просторі існує скінченна лінійно незалежна система векторів, лінійною комбінацією яких можна подати будь-який вектор даного простору.
Базис — це (одночасно) і мінімальна породжувальна (повна) система, і максимальна лінійно незалежна система векторів. Всі базиси містять однакову кількість елементів, яку називають розмірністю векторного простору.
Скінченновимірний простір, у якому введено скалярний добуток його елементів, називають евклідовим. Скінченновимірний простір, у якому введено норму його елементів, називають скінченновимірним нормованим. Наявність скалярного добутку або норми породжує в скінченновимірному просторі метрику.
Кожен елемент скінченновимірного простору можна подати єдиним чином у вигляді
де — поле (часто або ), над яким розглядається простір , — елементи базису. Це випливає з визначення базису.
Також будь-який базис в евклідовому просторі можна зробити ортонормованим за допомогою ортогоналізації Шмідта.
- Всі базиси скінченновимірного простору складаються з однакової кількості елементів. Ця властивість дає коректність визначення розмірності простору.
- Нехай — скінченновимірний простір і — лінійно-незалежна система елементів. Тоді цю систему завжди можна доповнити до базиса.
- Всі скінченновимірні простори однакової розмірності ізоморфні один одному.
- В будь-якому скінченновимірному просторі над полем можна ввести скалярний добуток. Наприклад, у просторі із фіксованим базисом, розмірності , можна ввести скалярний добуток за правилом:
, де — компоненти векторів і відповідно.
Із цієї властивості випливає, що в скінченновимірному просторі над полем можна ввести норму і метрику. Як наслідок, можна отримати що:- — рефлексивний простір[1].
- Простір , спряжений до деякого скінченновимірного простору , скінченновимірний і його розмірність збігається з розмірністю .
- Для будь-якого підпростору скінченновимірного простору існує підпростір [2] такий, що і розкладається в пряму суму і , .
- В евклідовому просторі кожна слабко збіжна послідовність збігається сильно.
- Всі норми у скінченновимірному просторі над полем еквівалентні. Збіжність у евклідовому просторі еквівалентна покоординатній збіжності.
- Кожен лінійний неперервний оператор у скінченновимірному просторі можна подати у вигляді матриці.
- Простір над полем є скінченновимірним тоді й лише тоді, коли одиничний оператор є цілком неперервним.
- Простір є скінченновимірним тоді й лише тоді, коли знайдеться оборотний цілком неперервний оператор, що діє над .
- Простір є скінченновимірним тоді й лише тоді, коли одинична куля в передкомпактна. Цю властивість можна переформулювати так: простір є скінченновимірним тоді й лише тоді, коли будь-яка обмежна в множина передкомпактна.
- Будь-який лінійний оператор , визначений у скінченновимірному просторі є неперервним і навіть цілком неперервним.
- У скінченновимірному просторі кожен оператор є унітарним тоді й лише тоді, коли він ізометричний, тобто зберігає скалярний добуток.
- Евклідів простір має розмірність 3, за його базис можна вибрати трійку векторів
Загальніший випадок — простору розмірності n. Норму в них зазвичай задають одним з таких способів ():
- або
Якщо ввести норму і скалярний добуток то простір буде евклідовим.
- — простір усіх многочленів степеня не вище . Розмірність цього простору . Многочлени утворюють у ньому базис.
- Нехай — довільний лінійний простір і нехай деяка лінійно-незалежна система векторів. Тоді лінійна оболонка, натягнута на цю систему є скінченновимірним простором.
- ↑ Цей факт можна отримати як за допомогою теореми Ріса — Фреше, так і прямими викладками, без використання теорії гільбертових просторів.
- ↑ часто називають ортогональним доповненням до
- Треногин В. А. Функциональный анализ. — М. : Наука, 1980. — 495 с.
- Халмош П. Конечномерные векторные пространства = Finite-dimensional vector spaces. — М. : Физматгиз, 1963. — 264 с.
- Шилов Г.Е. Математический анализ. Специальный курс. — 2-е. — М. : Физматлит, 1961. — 436 с.