Скінченнопороджена абелева група

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

У абстрактній алгебрі абелева група (\mathbb{G},\;+) називається скінченнопородженою, якщо існує скінченна множина x_1,\;\ldots,\;x_s \in \mathbb{G}, така що \forall x \in \mathbb{G} існує представлення:

\ x = n_1 x_1 + n_2 x_2 + \ldots + n_s x_s,

де n_1,\;\ldots,\;n_sцілі числа. В такому випадку кажуть, що \ x_1,\;\ldots,\;x_s \ породжує групу \mathbb{G} або що x_1,\;\ldots,\;x_s породжують \mathbb{G}.

Очевидно, кожна скінченна абелева група є скінченнопородженою. Скінченнопороджені абелеві групи мають порівняно просту структуру і можуть бути повністю класифіковані.

Приклади[ред.ред. код]

  • Цілі числа (\Z,\;+) є скінченнопородженою абелевою групою.
  • Числа по модулю (\Z_n,\;+) є скінченнопородженою абелевою групою.
  • Будь-який прямий добуток скінченного числа скінченнопороджених абелевих груп також є скінченнопородженою абелевою групою.

Група (\Q,\;+) раціональних чисел не є скінченнопородженою: якщо x_1,\;\ldots,\;x_s \in \Q, візьмемо натуральне число w, взаємно просте зі всіма їх знаменниками; тоді 1/w не може бути породжено x_1,\;\ldots,\;x_s \in \Q.

Класифікація[ред.ред. код]

Теорема про класифікацію скінченнопороджених абелевих груп стверджує, що будь-яка скінченнопороджена абелева група  \mathbb{G} ізоморфна прямому добутку простих циклічних груп і нескінченних циклічних груп, де проста циклічна група - це така циклічна група, порядок якої є степенем простого числа. Тобто кожна така група ізоморфна групі вигляду

\Z^m \oplus \Z_{m_1} \oplus \ldots \oplus \Z_{m_t},

де m \geqslant 0, і числа m_1,\;\ldots,\;m_t є степенями (не обов'язково різних) простих чисел. Значення m,\;m_1,\;\ldots,\;m_t однозначно визначені (з точністю до порядку) групою  \mathbb{G} , зокрема  \mathbb{G} скінченна тоді і тільки тоді, коли  m = 0\; .

На підставі того факту що  \mathbb{G}_l буде ізоморфна добутку  \mathbb{G}_j і  \mathbb{G}_k тоді і тільки тоді, коли j\; і k\; взаємно прості і l = j k\;, ми також можемо представити будь-яку скінченнопороджену групу  \mathbb{G} у вигляді прямого добутку:

\Z^m \oplus \Z_{k_1} \oplus \ldots \oplus \Z_{k_r},

де k_1\; ділить k_2\;, що ділить k_3\; і так далі до k_u\;. І знову, числа m\; і k_1,\;\ldots,\;k_r однозначно задані групою  \mathbb{G} .

Доведення[ред.ред. код]

Існування[ред.ред. код]

Позначимо n = m + u і доводитимемо другий варіант твердження. Нехай дана абелева група G із скінченним числом твірних. Група G є ізоморфною факторгрупі деякої вільної абелевої групи An по деякій її підгрупі V. З властивостей вільних абелевих груп випливає, що можна вибрати такий базис x_1, \ldots, x_n групи An, що базис вільної абелевої групи V матиме вигляд m_1 x_1, \ldots, m_r x_r, де m_i ділиться на m_{i-1} для всіх i = 2, \ldots, r. Завдяки такому вибору базисів елемент

x = a_1 x_1 + a_2x_2 + \ldots + a_nx_n

з групи An тоді і тільки тоді міститиметься в підгрупі V якщо коефіцієнти a_i діляться на m_i, ~i = 1, \ldots, r, а коефіцієнти a_i, ~i = r+1, \ldots, n, рівні нулю. Дійсно, якщо коефіцієнти a_i задовольняють цим умовам, то елемент x може бути записаний базис m_1 x_1, \ldots, m_r x_r,. Навпаки, якщо

x = b_1 m_1 x_1 + b_2 m_2 x_2 + \ldots + b_n m_n x_n

то, очевидно, всі зазначені умови виконуються.

У факторгрупі An/V елемент xi + V має при i \leqslant r порядок mi, а при i > r нескінченний порядок. Циклічні підгрупи всіх цих елементів дають в сумі всю факторгрупу, причому, складають пряму суму — всякий елемент з An/V однозначно записується у вигляді суми елементів з циклічних підгруп xi + V. Звичайно, якщо декілька перших з чисел m1, m2, ... рівні 1, то відповідні прямі доданки x1 + V, x2 + V{ и2 + V), ... повинні бути виключені. Зважаючи на ізоморфізм групи G з факторгрупою чинника An/V теорема доведена не тільки для An/V, але і для G.

Єдиність[ред.ред. код]

Щоб довести єдиність такого, припустимо, що ми маємо другий такий розклад. Доведемо спершу, що n = n' Припустимо, що n > n' і pпросте число, що ділить m1. Використання початковий розклад, існує очевидний епіморфізм з G у n-вимірний векторний простір над \mathbb{F}_p; цей простір повинен породжуватися образами x'i — базисних елементів з другого розкладу. Але це неможливо, тому що множина яку вони породжують містить щонайбільше pn' < pn елементів.

Для натурального числа m > 0 розглянемо групу mG, що складається з усіх mx де x \in g. Розклад для цієї групи одержиться з розкладу для G заміною xi на mxi і mxi на \frac{m_i}{GCD(m, m_i)}, де GCD(m, m_i)найбільший спільний дільник. Якщо mi ділить m, то даний коефіцієнт рівний одиниці і відповідний елемент mxi повинен бути видалений. Отже mi однозначно визначаються властивістю, що mi є найменше натуральне число для якого канонічне представлення mG використань щонайбільше n - i твірних.

Література[ред.ред. код]