Скінченнопороджена абелева група

У абстрактній алгебрі абелева група $(\mathbb {G} ,\;+)$ називається скінченнопородженою, якщо існує скінченна множина $x_{1},\;\ldots ,\;x_{s}\in \mathbb {G}$, така що $\forall x\in \mathbb {G}$ існує представлення:

$\ x=n_{1}x_{1}+n_{2}x_{2}+\ldots +n_{s}x_{s},$

де $n_{1},\;\ldots ,\;n_{s}$ — цілі числа. В такому випадку кажуть, що $\ x_{1},\;\ldots ,\;x_{s}\$ породжує групу $\mathbb {G}$ або що $x_{1},\;\ldots ,\;x_{s}$ породжують $\mathbb {G}$.

Очевидно, кожна скінченна абелева група є скінченнопородженою. Скінченнопороджені абелеві групи мають порівняно просту структуру і можуть бути повністю класифіковані.

Приклади

• Цілі числа $(\mathbb {Z} ,\;+)$ є скінченнопородженою абелевою групою.
• Числа по модулю $(\mathbb {Z} _{n},\;+)$ є скінченнопородженою абелевою групою.
• Будь-який прямий добуток скінченного числа скінченнопороджених абелевих груп також є скінченнопородженою абелевою групою.

Група $(\mathbb {Q} ,\;+)$ раціональних чисел не є скінченнопородженою: якщо $x_{1},\;\ldots ,\;x_{s}\in \mathbb {Q}$, візьмемо натуральне число $w$, взаємно просте зі всіма їх знаменниками; тоді $1/w$ не може бути породжено $x_{1},\;\ldots ,\;x_{s}\in \mathbb {Q}$.

Класифікація

Теорема про класифікацію скінченнопороджених абелевих груп стверджує, що будь-яка скінченнопороджена абелева група $\mathbb {G}$ ізоморфна прямому добутку простих циклічних груп і нескінченних циклічних груп, де проста циклічна група - це така циклічна група, порядок якої є степенем простого числа. Тобто кожна така група ізоморфна групі вигляду

$\mathbb {Z} ^{m}\oplus \mathbb {Z} _{m_{1}}\oplus \ldots \oplus \mathbb {Z} _{m_{t}},$

де $m\geqslant 0$, і числа $m_{1},\;\ldots ,\;m_{t}$ є степенями (не обов'язково різних) простих чисел. Значення $m,\;m_{1},\;\ldots ,\;m_{t}$ однозначно визначені (з точністю до порядку) групою $\mathbb {G}$, зокрема $\mathbb {G}$ скінченна тоді і тільки тоді, коли $m=0\;$.

На підставі того факту що $\mathbb {G} _{l}$ буде ізоморфна добутку $\mathbb {G} _{j}$ і $\mathbb {G} _{k}$ тоді і тільки тоді, коли $j\;$ і $k\;$ взаємно прості і $l=jk\;$, ми також можемо представити будь-яку скінченнопороджену групу $\mathbb {G}$ у вигляді прямого добутку:

$\mathbb {Z} ^{m}\oplus \mathbb {Z} _{k_{1}}\oplus \ldots \oplus \mathbb {Z} _{k_{r}},$

де $k_{1}\;$ ділить $k_{2}\;$, що ділить $k_{3}\;$ і так далі до $k_{u}\;$. І знову, числа $m\;$ і $k_{1},\;\ldots ,\;k_{r}$ однозначно задані групою $\mathbb {G}$.

Доведення

Існування

Позначимо n = m + u і доводитимемо другий варіант твердження. Нехай дана абелева група G із скінченним числом твірних. Група G є ізоморфною факторгрупі деякої вільної абелевої групи A_n по деякій її підгрупі V. З властивостей вільних абелевих груп випливає, що можна вибрати такий базис $x_{1},\ldots ,x_{n}$ групи A_n, що базис вільної абелевої групи V матиме вигляд $m_{1}x_{1},\ldots ,m_{r}x_{r},$ де $m_{i}$ ділиться на $m_{i-1}$ для всіх $i=2,\ldots ,r.$ Завдяки такому вибору базисів елемент

$x=a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\ldots +a_{n}x_{n}$

з групи A_n тоді і тільки тоді міститиметься в підгрупі V якщо коефіцієнти $a_{i}$ діляться на $m_{i},~i=1,\ldots ,r,$ а коефіцієнти $a_{i},~i=r+1,\ldots ,n,$ рівні нулю. Дійсно, якщо коефіцієнти $a_{i}$ задовольняють цим умовам, то елемент x може бути записаний базис $m_{1}x_{1},\ldots ,m_{r}x_{r},$. Навпаки, якщо

$x=b_{1}m_{1}x_{1}+b_{2}m_{2}x_{2}+\ldots +b_{n}m_{n}x_{n}$

то, очевидно, всі зазначені умови виконуються.

У факторгрупі A_n/V елемент x_i + V має при $i\leqslant r$ порядок m_i, а при i > r нескінченний порядок. Циклічні підгрупи всіх цих елементів дають в сумі всю факторгрупу, причому, складають пряму суму — всякий елемент з A_n/V однозначно записується у вигляді суми елементів з циклічних підгруп x_i + V. Звичайно, якщо декілька перших з чисел m₁, m₂, ... рівні 1, то відповідні прямі доданки x₁ + V, x₂ + V{ и2 + V), ... повинні бути виключені. Зважаючи на ізоморфізм групи G з факторгрупою чинника A_n/V теорема доведена не тільки для A_n/V, але і для G.

Єдиність

Щоб довести єдиність такого, припустимо, що ми маємо другий такий розклад. Доведемо спершу, що n = n^' Припустимо, що n > n' і p — просте число, що ділить m₁. Використання початковий розклад, існує очевидний епіморфізм з G у n-вимірний векторний простір над $\mathbb {F} _{p}$; цей простір повинен породжуватися образами x'_i — базисних елементів з другого розкладу. Але це неможливо, тому що множина яку вони породжують містить щонайбільше p^n' < pⁿ елементів.

Для натурального числа m > 0 розглянемо групу mG, що складається з усіх mx де $x\in g$. Розклад для цієї групи одержиться з розкладу для G заміною x_i на mx_i і mx_i на ${\frac {m_{i}}{GCD(m,m_{i})}}$, де GCD(m, m_i) — найбільший спільний дільник. Якщо m_i ділить m, то даний коефіцієнт рівний одиниці і відповідний елемент mx_i повинен бути видалений. Отже m_i однозначно визначаються властивістю, що m_i є найменше натуральне число для якого канонічне представлення mG використань щонайбільше n - i твірних.

Література

• Курош А. Г. Теория групп. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1967. — 648 с. — ISBN 5-8114-0616-9.(рос.)