Скінченнопороджений модуль

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Скінченнопородженим модулем над асоціативним кільцем називається такий модуль, який породжується скінченною кількістю своїх елементів. Наприклад, для правого модуля це означає, що існує скінченна множина елементів таких, що будь-який елемент з рівний сумі , де  — елементи кільця .

Еквівалентно скінченнопороджені модулі можна визначити такими умовами:

  • Для будь-якої сім'ї підмодулів {Ni | i ∈ I} модуля M, якщо , то для деякої скінченної підмножини F множиниI.
  • Для будь-якої лінійно впорядкованої множини підмодулів {Ni | i ∈ I} вM, якщо , тоді Ni = M для деякого i в I.
  • Якщо є епіморфізмом, тоді для деякої скінченної підмножини F множини I теж є епіморфізмом.

Серед властивостей, тісно пов'язаних з скінченною породженістю  — скінченне представлення, скінченна зв'язність і когерентність модуля. Над нетеровим кільцем всі чотири властивості є еквівалентними.

Скінченнопороджені модулі над полем є скінченновимірними векторними просторами.


Приклади[ред. | ред. код]

  • Якщо модуль породжується лише одним елементом то він називається циклічним молулем.
  • Якщо R є областю цілісності і K його полем часток то кожен скінченнопороджений R-підмодуль I поля K є дробовим ідеалом: тобто існує елемент r в кільці R такий що rI є підмножиною R. Справді за елемент r можна взяти добуток знаменників всіх генераторів I. Якщо R є нетеровим кільцем, то кожен дробовий ідеал одержується в цей спосіб.
  • Скінченнопородженими модулями над кільцем цілих чисел Z скінченнопороджені абелеві групи.
  • Скінченнопородженими модулями над тілом є скінченновимірні векторні простори над тілом.

Властивості[ред. | ред. код]

Образ скінченнопородженого модуля при гомоморфізмі також є скінченнопородженим модулем. У загальному випадку, підмодулі скінченнопородженого модуля не обов'язково є скінченнопородженими. Наприклад, розглянемо кільце R = Z[x1, x2...] многочленів від нескінченного числа змінних. Це кільце є скінченнопородженим Z-модуль. Розглянемо його підмодуль (тобто ідеал), що складається з усіх многочленів з нульовим коефіцієнтом при константі. Якби у цього модуля була скінченна породжуюча множина, то кожен одночлен xi мав би міститися в одному з многочленів цієї множини, що неможливо.

Модуль називається нетеровим, якщо будь-який його підмодуль є скінченнопородженим. Більш того, модуль над нетеровим кільцем є скінченнопородженим тоді і тільки тоді, коли він є нетеровим.

Нехай 0 → M′MM′′ → 0 — точна послідовність модулів. Якщо M′ и M′′ тут скінченно породжені, то і M є скінченнопородженим. Вірні і деякі твердження, частково обернені до даного. Якщо M є скінченнопородженим і M'' скінченнопредставленим (це більш сильне умова, ніж скінченнопородженісь), то M′ є скінченнопородженим.

В комутативній алгебрі існує певний зв'язок між скінченною породженістю і цілими елементами. Комутативна алгебра A над R називається скінченнопородженою над R, якщо існує скінченна множина її елементів, така, що A є найменшим підкільцем A, що містить R і ці елементи. Це більш слабка умова, ніж скінченнопородженість: наприклад, алгебра многочленів R[x]  — скінченнопороджена алгебра, але не скінченнопороджений модуль. Наступні твердження еквівалентні [1]:

  • A  — скінченнопороджений модуль;
  • A  — скінченнопороджена алгебра, що є цілим розширенням R.

Скінченнопредставлені, скінченнопов'язані і когерентні модулі[ред. | ред. код]

Властивість скінченної породженості можна сформулювати так: скінченнопороджений модуль M  — це модуль, для якого існує епіморфізм

f : RkM.

Розглянемо тепер епіморфізм

φ : FM

з вільного модуля F в M.

  • Якщо ядро епіморфізма φ є скінченнопородженим, M називається скінченнопов'язаним модулем. Оскільки M є ізоморфним F/ker(φ), цю властивість можна виразити наступними словами: M одержується з вільного модуля додаванням скінченної кількості співвідношень.
  • Якщо ядро епіморфізма φ є скінченнопородженим і ранг модуля F є скінченним, M називається скінченнопредставленим модулем. Тут у M є скінченна кількість генераторів (образи генераторів F) і скінченна кількість (генераторів ker(φ)).
  • Когерентний модуль  — це скінченнопороджений модуль, все скінченнопороджені підмодулі якого є скінченнопредставленими.

Якщо основне кільце R нетеровим, всі чотири умови еквівалентні.

Хоча умова когерентності здається більш «громіздкою», ніж умови скінченної пов'язаності і представленості, вона також є важливою, тому що категорія когерентних модулів є абелевою, на відміну від категорії скінченнопороджених або скінченнопредставлених модулів.

Примітки[ред. | ред. код]

  1. Kaplansky, 1970, с. 11, Theorem 17

Джерела[ред. | ред. код]

  • Atiyah, M. F.; Macdonald, I. G. (1969). Introduction to commutative algebra. Addison-Wesley Publishing Co., Reading, Mass.-London-Don Mills, Ont. с. ix+128. MR 0242802 (39 #4129). 
  • Bourbaki, Nicolas, Commutative algebra. Chapters 1--7. Translated from the French. Reprint of the 1989 English translation. Elements of Mathematics (Berlin). Springer-Verlag, Berlin, 1998. xxiv+625 pp. ISBN 3-540-64239-0
  • Kaplansky, Irving (1970). Commutative rings. Boston, Mass.: Allyn and Bacon Inc. с. x+180. MR 0254021. 
  • Lam, T. Y. (1999). Lectures on modules and rings. Graduate Texts in Mathematics No. 189. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-98428-5. 
  • Lang, Serge (1997). Algebra (вид. 3rd). Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-55540-0. 
  • Matsumura, Hideyuki (1989). Commutative ring theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics 8. Translated from the Japanese by M. Reid (вид. 2). Cambridge: Cambridge University Press. с. xiv+320. ISBN 0-521-36764-6. MR 1011461 (90i:13001). 
  • Springer, Tonny A. (1977). Invariant theory. Lecture Notes in Mathematics 585. Springer. .