Скінченні різниці

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Скінченна різниця — математичний вираз виду f(x + b) − f(x + a), що широко використовується в числових методах в методі скінченних різниць для апроксимації значень функції та її похідних.

Права, ліва та центральна різниця[ред.ред. код]

Права різниця — вираз виду:

Ліва різниця — вираз виду:

Центральна різниця — вираз виду:

Зв'язок з похідною[ред.ред. код]

Похідна функції f в точці x визначена, як границя розділеної різниці

Отже, права різниця поділена на h апроксимує похідну, якщо h є малим. Похибка апроксимації отримується з теореми Тейлора.

Ліва та центральна різниці теж апроксимують похідну:

Різниці вищих порядків[ред.ред. код]

Аналогічно до похідних вищих порядків можна отримати скінченні різниці вищих порядків. Наприклад, застосувавши центральну різницю в формулах та для апроксимації другої похідної в точці x, отримаємо:

В загальному випадку, праві, ліві та центральні різниці nth-того порядку виражаються формулами:

Для непарних , коефіцієнт перед буде не цілим. Це часом є проблемою, оскільки є інтервалом дискретизації. Для вирішення проблеми використовують середнє від та .

Зв'язок скінченних різниць вищих порядків з похідними вищих порядків:

Скінченні різниці вищих порядків можуть використовуватись для покращення апроксимації. Наприклад:

апроксимає f'(x) з точністю до h2. Доводиться записом вищенаведеного виразу через ряд Тейлора та зведенням подібних доданків.