Слабка похідна

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

«Слабка похідна» (в математиці) — узагальнене поняття похідної функції («сильна похідна») для функцій, інтегровних за Лебегом (тобто з простору ), але не диференційовних.

Визначення[ред.ред. код]

Нехай  — функція з . Функцію з називають «слабкою похідною» , якщо

для усіх неперервно диференційовних функцій при . Це визначення засновано на методі інтегрування частинами.

Узагальнюючи на вимірів, якщо і належать простору локально інтегровних функцій для деякої області , і якщо  — це мультиіндекс, то називається слабкою похідною порядку , якщо

для усіх  — фінітних в нескінченно гладких функцій.

Якщо у функції є слабка похідна, то її часто позначають через , тому що вона єдина з точністю до множини міри нуль.

Приклади[ред.ред. код]

  • Функція u : [−1, 1] → [0, 1], u(t) = |t|, яка не має похідної в точці t = 0, проте має на проміжку [−1, 1] слабку похідну v, так звану «функцію знаку» (sgn), визначену таким співвідношенням:

Це не єдина похідна u: усіляка функція w, що збігається з v, майже скрізь також буде слабкою похідною u. Як правило це не є проблемою, так як з точки зору просторів Lp та просторів Соболєва вони еквівалентні.

Таким чином, є слабка похідна функції D. Це має бути інтуїтивно зрозуміло, адже D в просторі Lp еквівалентна тотожному нулю.

Властивості[ред.ред. код]

  • Якщо дві функції є слабкими похідними однієї і тієї ж функції, то вони збігаються на множині повної міри (майже скрізь). Якщо, як прийнято в просторах , покладати майже скрізь рівні функції еквівалентними, то слабка похідна визначена єдиним чином.
  • Якщо u має звичайну («сильну») похідну, тоді вона буде слабкою похідною. В цьому сенсі, слабка похідна є узагальненою сильною. Більш того, класичні правила для похідних від суми і від добутку функцій зберігаються для слабких похідних також.

Розвиток[ред.ред. код]

Поняття слабкої похідної заклало основу для побудови т. з. слабких рішень в просторі Соболєва, які виявилися корисними в теорії диференціальних рівнянь і в функціональному аналізі.

Література[ред.ред. код]

  • Михлин С. Г. Курс математической физики, Спб.: Лань, 2002
  • Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике, М.: Наука, 1988
  • Ладыженская О. А. , Уральцева Н .Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа, М.: Наука, 1973