Слабке гравітаційне поле

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Рівняння Ейнштейна, виведене із принципів загальної теорії відносності:

є нелінійним диференціальним рівнянням другого порядку щодо невідомих компонент метричного тензора . Існує практичний інтерес випадок настільки слабкого гравітаційного поля, щоб нелінійностями можна було знехтувати і одержати наближене рівняння, яке близьке до класичного закону Всесвітнього тяжіння, але з релятивістськими поправками. Це наближене рівняння можна застосовувати в межах Сонячної системи і навіть при розгляді галактик — адже типові швидкості зірок в галактиках більш ніж у тисячу разів менші за швидкість світла.

Є ще одна причина розглянути лінеаризоване рівняння (1) - знайти константу при тензорі енергії-імпульсу, яка залишилася невідомою при виводі рівняння Ейнштейна (1).

Лінеаризація рівняння Ейнштейна[ред.ред. код]

Знаходження варіації тензора Річчі[ред.ред. код]

Нехай ми маємо якийсь розподіл матерії в просторі (який задано компонентами тензора енергії-імпульсу як функціями координат). І нехай для цього (базового) розподілу рівняння (1) уже розв'язане, тобто відомий метричний тензор , а отже і тензор Рімана . Поряд з цим базовим розподілом матерії розглянемо і дещо змінений розподіл :

який відрізняється від базового на малу величину . Звичайно, мализну цієї добавки ми визначаємо так, щоб в результаті розв'язку рівняння (1) з новим тензором ми одержали малу (порівняно з одиницею) зміну метричного тензора:

Звичайно, за земними мірками тензор може бути не таким вже й маленьким — наприклад планетою, зіркою, газовою туманністю, головне щоб зміна метричного тензора була малою. Цю зміну ми називатимемо варіацією, її ми і будемо шукати (базове рівняння вважається розв'язаним). Із варіації метричного тензора можна досить легко одержати варіації символів Крістофеля і тензора Рімана (подробиці обчислень в статті Допоміжні інтеграли з варіаціями):

Для наших цілей треба обчислити в першу чергу варіацію тензора Річчі . Згорнемо формулу (5) за індексами і підставимо сюди варіації символів Крістофеля із формули (4). Зручно також домножити одержану формулу на два, щоб компенсувати коефіцієнт в правій частині (4):

Звернемо увагу на перший і третій доданки в останніх дужках: і . Вони переходять один в другий (з відповідним знаком) при перестановці індексів . Але вся ця дужка згортається із симетричним тензором , в результаті згортки ці два доданки взаємо-знищуюються, і ми одержуємо наступну формулу для варіації тензора Річчі (заодно перейменуємо заради естетики індекс на ):

Оператор в третьому доданку - це просто лапласіан (оператор Лапласа-Бельтрамі). Останній доданок є симетричним по індексах як друга похідна скаляра:

а перші два доданки переходять один в другий при перестановці індексів . Перепишемо формулу (7) ще раз:

Лінійна заміна змінних[ред.ред. код]

Формула (9) лінійна щодо невідомих варіацій метричного тензора , але надто громіздка. Сюди входять різнородні другі похідні, до того ж компоненти невідомих перемішані. Очевидно, ця ж неприємність залишиться, якщо ми будемо обчислювати варіацію від тензора Ейнштейна:

Допомогти може лінійна заміна невідомих (ми діагоналізуємо лінійні рівняння). В загальному випадку ми вводимо нові невідомі - тензор , через який виражаються варіації метричного тензора:

Що робити далі, підходи відрізняються для математика і фізика. Математик підставить (11) в лінеаризоване рівняння Ейнштейна, і шукатиме зв'язки на постійні коефіцієнти , при яких лінеаризоване рівняння Ейнштейна спроститься. Фізик же може скористатися міркуваннями симетрії та інтуїцією, щоб відгадати вид найкращої заміни змінних. Дійсно, оскільки рівняння Ейнштейна тензорне, то і коефіцієнти (11) мають бути тензорами. Просто якийсь довільний тензор зі сторони може тільки ускладнити задачу. Тому розглянемо в першу чергу такі коефіцієнти , які залежать тільки від метричного тензора . І навіть конкретніше, спробуємо заміну, аналогічну тому, як в формулі (10) тензор Ейнштейна залежить від тензора Річчі . Отже, нехай:

Ця заміна оборотна, і ми можемо виразити через . Для цього знайдемо слід формули (12):

Тут ми скористалися формулою згортки метричного тензора (дивіться Прості обчислення диференціальної геометрії):

Із формул (12) і (13) знаходимо:

Підставимо заміну (12) і (13) в перший, другий і четвертий доданок формули (9). Одержуємо:

Очевидно, мішана похідна скорочується, і ми одержуємо рівняння з трьома доданками:

Далі, придивимося уважніше до перших двох доданків формули (12). Ми можемо і їх обнулити, якщо дивергенція від дорівнюватиме нулю:

Але чи можемо ми сподіватися на цю рівність? Відповідь ствердна, оскільки в компонент метричного тензора є чотири степені свободи, коли сам многовид чотиривимірного простору-часу і його метрика не змінюються, а міняється тільки система координат. Дійсно, нехай нові координати відрізняються від старих на малий вектор :

Деяка точка має координати в нових координатах і в старих. Запишемо квадрат "відстані" від цієї точки до близької точки в нових і старих координатах:

Тоді метричні тензори в цих системах координат відрізняються на величину:

Якщо ми до варіації в формулі (15) додамо неістотний доданок (21) і візьмемо дивергенцію, то матимемо рівняння для вектора (чотири диференціальні рівняння з чотирма невідомими):

Припустмо, що ці рівняння розв'язуються, тоді при варіації метрики ми синхронно змінюємо систему координаттаким чином, щоб лінеаризоване рівняння Ейнштейна було найпростішим.

Маючи рівність (18), обчислимо перший доданок (17), записуючи дію комутатора коваріантних похідних на тензор через суму згорток (за кожним з двох індексів) цього тензора з тензором Рімана:

тоді формула (17) запишеться так:

У цій формулі ми перенесли доданки з кривиною на кінець, оскільки вони звичайно малі у порівнянні з першим доданком. Їх треба враховувати хіба що в задачі визначення траєкторії руху гравітаційні хвилі в гравітаційному полі.

Якщо ми візьмемо за базовий розв'язок плоский простір без матерії:

то одержимо досить просту формулу для варіації тензора Річчі:

Завершення виводу лінеаризованого рівняння[ред.ред. код]

Маючи варіацію тензора Річчі (26), і умову , знайдемо спочатку варіацію скалярної кривини:

Далі шукаємо варіацію тензора Ейнштейна:

Таким чином, лінеаризоване рівняння Ейнштейна має такий вигляд:

Порівняння з формулами для класичної теорії Всесвітнього тяжіння[ред.ред. код]

Нехай ми маємо статичний розподіл мас у тривимірному просторі:

Тензор енергії-імпульса приблизно матиме такий вигляд:

оскільки тензор напруг речовини набагато менший за величиною за енергію спокою , і ним можна знехтувати.

Система рівняннь (29) є діагональною в декартовій системі координат, і розпадається на 16 незалежних рівнянь, по одному на кожну компоненту . Маючи на увазі (31), тільки одне з цих рівнянь має ненульову праву частину:

Решту п'ятнадцять рівнянь легко розв'язати, вибравши нульовий розв'язок: коли індекси не дорівнюють нулю одночасно. Тепер матриця шуканого тензора матиме вигляд, аналогічний до (31):

Для рівняння (32), з огляду на (30), можна шукати статичний розв'язок:

Для цього нам досить пересвідчитися, що система чотирьох рівняннь (18) автоматично задовольняється. Нетривіальне рівняння маємо лише одне із чотирьох, коли :

Перший доданок перетворюється в нуль, оскільки згідно з (34) не залежить від часу. Решта доданків дорівнюють нулю окільки в матриці (33). Чотиривимірний оператор Лапласа в формулі (32) в декартовій системі координат записується як даламберіан:

де грецькою буквою позначено тривимірний оператор Лапласа:

Оскільки похідна по часовій змінній від функції (34) дорівнює нулю, то формулу (32) ми можемо записати виключно в тривимірних координатах:

Тепер ми можемо порівняти формулу (38) з класичною формулою для гравітаційного потенціалу :

Величина і гравітаційний потенціал пов'язані між собою через часову компонету метричного тензора:

звідки отримуємо:

Взявши тривимірний лапласіан від правої і лівої частин рівняння (42), легко знаходимо невідомий раніше коефіцієнт рівняння Ейнштейна:

Деформація метрики в слабкому гравітаційному полі[ред.ред. код]

Формули (42) і (33) дають змогу записати тензор через гравітаційний потенціал:

Із формули (12) знаходимо компоненти метричного тензора:

Ці формули ми можемо записати у вигляді матриці:

Оскільки гравітаційний потенціал від'ємний, то з формули (47) слідує, що під дією сили тяжіння плин часу уповільнюється:

а простір в такій же пропорції розтягується:

Теоретичні наслідки лінеаризованого рівняння Ейнштейна[ред.ред. код]

Із рівняння (29) можна вивести, аналогічно запізнюючим потенціалам в електродинаміці, що гравітаційне поле поширюється не миттєво, а зі швидкістю світла. Більше того, можна одержати рівняння для гравітаційних хвиль. Є ще один цікавий ефект - породження аналога сили Коріоліса внаслідок обертання мас. Тобто, наприклад площина коливань маятника Фуко на полюсі Землі не буде фіксованою щодо віддалених зірок, а повільно обертатиметься (дивіться статтю Обертання інерційної системи відліку). Описані вище ефекти дуже малі і не підтверджені експериментально. Такі експерименти можуть підвердити або спростувати загальну теорію відносності.