Слабкий гаусдорфів простір

У топології слабким гаусдорфовим простором називають топологічний простір X для якого для будь-якого компактного гаусдорфового простору K і неперервного відображення f : K → X образ f (K) є замкнутою підмножиною у X.

Цей тип просторів ввів американський математик Майкл МакКорд у 1969 році . Слабкі гаусдорфові простори найчастіше використовуються у алгебричній топології, часто у поєднанні із вимогою компактної породженості.

Властивості

• Слабкий гаусдорфів простір є T₁ простором.

Одним із еквівалентних означень T₁ простору є те, що всі його одноточкові підмножини є замкнутими. Але одноточкові підмножини простору X можна розглядати як образи неперервних відображень із деякої одноточкової множини (яка буде компактною і гаусдорфовою) у X. Якщо X є слабким гаусдорфовим, то всі ці образи є замкнутими підмножинами і X є простором T₁.

• Для слабкого гаусдорфового простору $X$ і гаусдорфового компактного простору $K$ образ $f(K)$ при неперервному відображенні $f:K\to X$ є гаусдорфовим підпростором.

Нехай $x$ і $y$ є різними точками $f(K)$ і позначимо $H_{x}=f^{-1}(\{x\})$ і $H_{y}=f^{-1}(\{y\})$; $H_{x}$ і $H_{y}$ є замкнутими множинами із пустим перетином. Оскільки простір $K$ є нормальним, то існують відкриті підмножини $U_{x}$ і $U_{y}$ у $K$ із пустим перетином для яких $H_{x}\subseteq U_{x}$ і $H_{y}\subseteq U_{y}$. Нехай тепер $V_{x}=f(K)\setminus f(K\setminus U_{x})$ і $V_{y}=f(K)\setminus f(K\setminus U_{y})$. Підпростори $K\setminus U_{x}$ і $K\setminus U_{y}$ є компактними і гаусдорфовими і їх образи при $f$ є замкнутими і тому $V_{x}$ і $V_{y}$ є відкритими підмножинами $f(K)$ для яких $x\in V_{x}$ і $y\in V_{y}$. Якщо $z\in V_{x}\cap V_{y}$, нехай $p\in K$ точка для якої $f(p)=z$; але тоді $p\in U_{x}\cap U_{y}$, що є неможливим. Тобто перетин $V_{x}$ і $V_{y}$ є пустим і із довільності вибору точок $x$ і $y$ випливає, що $f(K)$ є гаусдорфовим підпростором.

• Нехай $\{X_{i}:i\in I\}$ є сім'єю слабких гаусдорфових просторів. Тоді добуток $X=\prod _{i\in I}X_{i}$є слабким гаусдорфовим простором.

Нехай $K$ є компактним гаусдорфовим простором і $f:K\to X$ є неперервним відображенням. Для $i\in I$ нехай $\pi _{i}:X\to X_{i}$ позначає стандартну проєкцію і $H_{i}=(\pi _{i}\circ f)(K)$. Кожен підпростір $H_{i}$ є замкнутим, компактним і гаусдорфовим у $X_{i}$, тож $\prod _{i\in I}H_{i}$ є замкнутим, компактним і гаусдорфовим підпростором $X$. Оскільки $f(K)$ є компактною підмножиною у $\prod _{i\in I}H_{i}$, то $f(K)$ є замкнутою у $\prod _{i\in I}H_{i}$, а тому й у $X$.

Приклади

• Кожен гаусдорфів простір є слабким гаусдорфовим.

Справді, для компактного простору якщо K образ f (K) при неперервному відображенні буде компактною підмножиною. Якщо додатково X є гаусдорфовим простором то довільна його компактна підмножина, зокрема і f (K) є замкнутою. Тобто X є слабким гаусдорфовим.

• Довільний KC-простір, тобто простір у якому всі компактні підмножини є замкнутими є слабким гаусдорфовим простором. Це випливає з того, що образ довільного компактного простору при неперервному відображенні є компактною множиною, тож якщо відображення здійснюється у KC-простір то цей образ також буде замкнутим. Гаусдорфові простори є прикладом KC-просторів, тож цей приклад узагальнює попередній.
• У статті одноточкова компактифікація показано, що одноточкова компактифікація простору раціональних чисел $\mathbb {Q} ^{*}$ є KC-простором але не є гаусдорфовим простором. Тому $\mathbb {Q} ^{*}$ є прикладом слабкого гаусдорфового простору, що не є гаусдорфовим простором.
• Добуток $\mathbb {Q} ^{*}\times \mathbb {Q} ^{*}$ одноточкових компактифікацій простору раціональних чисел теж є слабким гаусдорфовим простором. Але він не є KC-простором.

Якщо позначити $\Delta =\{\langle x,x\rangle :x\in \mathbb {Q} ^{*}\}$ діагональ простору то $\Delta$ є гомеоморфною $\mathbb {Q} ^{*}$ і тому компактною. Позначимо точку $P=\langle p,0\rangle \in X$, де p — додаткова точка у компактифікації $\mathbb {Q} ^{*}$ і для кожного $\epsilon >0$ також $I_{\epsilon }=(-\epsilon ,\epsilon )\cap \mathbb {Q}$. Для кожної компактної підмножини $K$ у $\mathbb {Q}$ і $\epsilon >0$ позначимо $B(K,\epsilon )=(\mathbb {Q} ^{*}\setminus K)\times I_{\epsilon }$ і нехай ${\mathcal {B}}$ є сім'єю всіх таких $B(K,\epsilon )$. Тоді ${\mathcal {B}}$ є локальним базисом у точці $P$. Зафіксуємо $B(K,\epsilon )\in {\mathcal {B}}$. Тоді $I_{\epsilon }\setminus K\neq \varnothing$ і можна вибрати $y\in I_{\epsilon }\setminus K$; тоді $\langle y,y\rangle \in \Delta \cap B(K,\epsilon )$ і з довільності вибору $B(K,\epsilon )$ випливає, що $P$ належить замиканню $\Delta$ але не $\Delta$. Тобто $\Delta$ є компактною але не замкнутою підмножиною.

Див. також

• Гаусдорфів простір
• Компактно породжений простір
• Простір T1