Слово (теорія груп)

У теорії груп слово — скінченна послідовність, яка для кожного її елемента може також містити обернений до нього.

Слова використовуються при заданні груп, а також належать до центральних об'єктів у комбінаторній теорії груп.

Означення

Нехай $S=\{s_{i}\mid i\in I\}$ — непорожня множина символів, проіндексована елементами з I. Будемо називати цю множину алфавітом, а її елементи — буквами. Через S^-1 позначимо множину $\{s_{i}^{-1}\mid i\in I\}.$

Груповим словом в алфавіті S називається або порожня, або скінченна послідовність букв із $S\cup S^{-1}.$

Запис слів

Для скорочення запису групового слова можна використовувати піднесення до степеня. Наприклад, слово

$xxy^{-1}zyzzzx^{-1}x^{-1}\,$

можна переписати як

$x^{2}y^{-1}zyz^{3}x^{-2}.\,$

Отриманий вираз не є власне словом в заданому алфавіті $\{x,y,z\}$, а коротшим записом початкового слова.

При роботі з довгими словами також може бути корисним використання надрядкової риски для позначення обернених елементів. Наведене вище слово з використанням цього позначення записуєтьмя так:

$x^{2}{\overline {y}}zyz^{3}{\overline {x}}^{2}.\,$

Скорочення слів

Слово називається нескоротним, якщо воно або пусте, або в ньому не містяться поруч символи $s_{i}^{k}$ та $s_{i}^{-k},$ де $k=\pm 1.$ Інакше, воно називається скоротним.

Для кожного скоротного слова існує єдине нескоротне слово, до якого його можна звести, тобто скоротити. Наприклад,

$y^{-1}zxx^{-1}y\;\;\longrightarrow \;\;y^{-1}zy.$

Два слова називають сусідніми, якщо одне з них дорівнює $x_{1}\dots x_{j}x_{j+1}\dots x_{n},$ а інше — $x_{1}\dots x_{j}s_{i}^{k}s_{i}^{-k}x_{j+1}\dots x_{n},$ де $x_{i}\in S\cup S^{-1}$ та $k=\pm 1.$

Операції над словами

Приписуванням (або добутком) двох слів $u=x_{1}x_{2}\dots x_{n}$ та $v=y_{1}y_{2}\dots y_{m}$, де $x_{i},y_{j}\in S\cup S^{-1},$ називається слово $x_{1}x_{2}\dots x_{n}y_{1}y_{2}\dots y_{m},$ яке позначається через $uv.$

Наприклад,

$\left(xzyz^{-1}\right)\left(zy^{-1}x^{-1}y\right)=xzyz^{-1}zy^{-1}x^{-1}y.$

Звідси результатом приписування двох нескоротних слів може бути скоротне слово.

Оберненим словом до слова $w=z_{1}z_{2}\dots z_{r}$, де $z_{i}\in S\cup S^{-1},$ називається слово $z_{r}^{-1}\dots z_{2}^{-1}z_{1}^{-1},$ яке позначається через $w^{-1},$ причому $\left(s_{i}^{-1}\right)^{-1}=s_{i}.$

Наприклад,

$\left(zy^{-1}x^{-1}y\right)^{-1}=y^{-1}xyz^{-1}.$

Еквівалентні слова

Два слова u та v називаються еквівалентними, якщо для них можна побудувати таку скінченну послідовність слів $w_{1},w_{2},\dots ,w_{d},$ що $w_{1}=u$, $w_{d}=v,$ а $w_{i}$ та $w_{i+1}$ є сусідніми словами при $i=1,\dots ,d-1.$ Позначення: $u\sim v.$

Можна показати, що задане відношення $\sim$ є відношенням еквівалентності. Причому кожен клас еквівалентності за цим відношенням містить тільки одне нескоротне слово.

Вільна група

Нехай $F(S)=\{[u]\mid u$ — слово в алфавіті $S\}.$ На цій множині можна визначити операцію приписування (або добутку):

$[u][v]=[uv].$

Можна довести, що $F(S)$ разом із заданою на ній вище операцією утворює групу. Ця група називається вільною з системою твірних S, а потужність S називається її рангом.

Література

• Ганюшкін О. Г., Безущак О. О. Теорія груп: Навчальний посібник для студентів механіко–математичного факультету. — Київ : ВПЦ "Київський університет", 2005. — С. 64-70.
• Epstein, David; Cannon, J. W.; Holt, D. F.; Levy, S. V. F.; Paterson, M. S.; Thurston, W. P. (1992). Word Processing in Groups. AK Peters. ISBN 0-86720-244-0..
• Robinson, Derek John Scott (1996). A course in the theory of groups. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94461-3.
• Rotman, Joseph J. (1995). An introduction to the theory of groups. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94285-8.
• Schupp, Paul E; Lyndon, Roger C. (2001). Combinatorial group theory. Berlin: Springer. ISBN 3-540-41158-5.
• Solitar, Donald; Magnus, Wilhelm; Karrass, Abraham (2004). Combinatorial group theory: presentations of groups in terms of generators and relations. New York: Dover. ISBN 0-486-43830-9.