Слід (теорія полів)

Слід — відображення елементів скінченного розширення поля E / K у початкове поле K, визначуване таким чином:

Нехай E — скінченне розширення K степеня n=[E:K], α — деякий елемент з поля E. Він визначає лінійне відображення на E:x→αx. Цьому відображенню в деякому базисі e₁,e₂.e_n відповідає матриця A:

(αe₁,αe₂.αe_n)=(e₁,e₂.e_n)*A. Слід цієї матриці називається слідом елемента α. Оскільки для іншого базису даному відображенню відповідатиме подібна матриця A'=CAC^-1 , то за елементарною теоремою лінійної алгебри слід не залежить від вибраного базису. Він позначається Tr_K^E(α)

Властивості сліду

• Tr_K^E(α+β)=Tr_K^E(α)+Tr_K^E(β)
• Tr_K^E(cα)=cTr_K^E(cα) для елемента с, що належить полю K.
• Якщо Е — сепарабельне, то Tr_K^E — ненульовий функціонал, якщо несепарабельне, то Tr_K^E=0.
• Для полів К/E/F маємо: Tr_K^E(Tr_E^F(α))=Tr_K^F(α) (транзитивність сліду)

• Якщо E=K(α) і f(x)=xⁿ+a_n-1x^n-1+...+a₁x+a₀ — незвідний многочлен, для α то Tr_K^K(α)(α)= -a_n-1

Вираз сліду через гомоморфізми E над K

Нехай σ₁,σ₂,...,σ_m — всі гомоморфізми E в алгебраїчному замиканні поля K, що є гомоморфізмами над K, тобто залишають нерухомими всі елементи K. Якщо E сепарабельне то m рівне степеню [E:К]=n . Тоді для норми існує наступний вираз:

Tr_K^E(a)=σ₁(a)+σ₂(a)+...+σ_n(a)

Якщо E несепарабельне то m≠n — степені [E:K], в цьому випадку n кратно m, причому частка є деяким степенем характеристики p: n=pⁱm.

Тоді Tr_K^E(a)=pⁱ(σ₁(a)+σ₂(a)+...+σ_m(a))=0

Література

• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — Москва : Наука, 1975. — 623 с. — ISBN 5-8114-0552-9.(рос.)
• Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра. — Москва : ИЛ, 1963. — Т. 1. — 373 с.(рос.)
• Ленг С. Алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 564 с. — ISBN 5458320840.(рос.)