Соленоїд

Соленоїд з одношаровою обмоткою

Магнітне поле соленоїда

Солено́їд (від грец. solen — трубка, eidos — вид) — фізичний прилад, котушка дроту, намотаного на циліндричну поверхню. Якщо довжина соленоїда більша від його діаметра, то при протіканні струму всередині котушки виникає однорідне магнітне поле спрямоване вздовж осі:

$B=\mu _{0}nI\,$ (ISQ), $B={\frac {4\pi }{c}}nI$ (СГС),

де $\mu _{0}$ — магнітна стала, $n$ — кількість витків на одиницю довҗини, $I$ — сила струму в обмотці соленоїда. Індуктивність соленоїда:

$L=\mu _{0}n^{2}V$ (ISQ), $L=4\pi n^{2}V$ (СГС),

де $V$ — об'єм соленоїда.

Конструктивно довгі соленоїди мають як одношарову обмотку (див. рис.), так і багатошарову.

Також часто соленоїдами називають електромеханічні виконавчі механізми, зазвичай зі втягуваним феромагнітним сердечником. У такому застосуванні соленоїд майже завжди обладнують зовнішнім феромагнітним магнітопроводом, зазвичай званим ярмом.

Нескінченно довгий соленоїд — це соленоїд, довжина якого прямує до нескінченності (тобто його довжина набагато більша за його поперечні розміри).

Соленоїд на постійному струмі

Якщо довжина соленоїда набагато більша за його діаметр і не використовується магнітний матеріал, то при протіканні струму обмоткою всередині котушки створюється магнітне поле, спрямоване вздовж осі, яке однорідне і для постійного струму за величиною дорівнює:

$B=\mu _{0}nI$ (SI) $\qquad (1),$

$B={\frac {4\pi }{c}}nI$ (СГС) $\qquad (2),$

де

$\mu _{0}$ — магнітна стала,

$n=N/l$ — кількість витків на одиницю довжини соленоїда,

$N$ — кількість витків,

$l$ — довжина соленоїда,

$I$ — струм у обмотці.

Внаслідок того, що дві половини нескінченного соленоїда в точці їх з'єднання роблять однаковий внесок у магнітне поле, магнітна індукція напівнескінченного соленоїда біля його краю вдвічі менша, ніж в об'ємі. Те саме можна сказати про поле на краях скінченного, але досить довгого соленоїда:

$B_{\mathrm {KP} }={\frac {1}{2}}\mu _{0}nI$ (SI) $\qquad (3).$

При протіканні струму соленоїд запасає енергію, рівну роботі, яку необхідно здійснити для встановлення струму $I$. Величина цієї енергії дорівнює

$E_{\mathrm {coxp} }={{\Psi I} \over 2}={{LI^{2}} \over 2}\qquad (4),$

де

$\Psi =N\Phi$ — потокозчеплення,

$\Phi$ — магнітний потік у соленоїді,

$L$ — індуктивність соленоїда.

При зміненні струму в соленоїді виникає ЕРС самоіндукції, значення якої

$\varepsilon =-L{dI \over dt}\qquad (5)$.

Повзвдовжнє осьове магнітне поле тонкого соленїда

Розподіл поля на осі спірального соленоїда, повздожня компонента.

Моделювання поля тонкого соленоїда дозволяє переходити до розгляду провідників кінцевого розміру через інтегрування по профілю; та отримувати результати для наближення поверхневого току, через усереднення по початковій просторовій фазі та напрямів обмотки.

значення констант:

$\mu _{0}=4\pi \cdot 10^{-7}$ = 1.256637*10^(-6), [Гн/м], магнітна стала, до семи знаків.

$c$ = 2.9979245800*10^10, [см/с], швидкість світла.

1 Тл (SI) = 10^4 Гс (SGS)

циліндричний соленоїд, вертикальний розгляд:

N = 5.0, кількість витків, дійсне додатнє число $N\in \mathbb {R} ,N>0$

I = 12.56637*10^(-3), [A] ампер, струм 12.57 міліампер

R = 30.0/2*10^(-3), [м] метри, радіус 15 міліметрів

H = 60.0*10^(-3), [м] метри, висота 60 міліметрів

k(SI) = ${\tfrac {\mu _{0}}{4\,\pi }}$= 10^(-7)

k(SGS) = $1/c$ = 3.335641*10^(-10)

Якщо ГМТ проводу соленоїда задано параметрично як спіраль:

$S(h)\in \{R\cdot \sin(w\cdot h),\,R\cdot \cos(w\cdot h),\,h\},\quad w=2\pi N/H$

$\scriptstyle {\vec {dS}}(h)=\{R\,w\,\cos(w\cdot h),\,-R\,w\,\sin(w\cdot h),\,1\}\,\cdot \,dh,\quad {\vec {r}}(h)={\vec {S}}(h)-\{x=0,\,y=0,\,z\to h\}$

Повздовжня $\scriptstyle {\vec {e}}_{z}=\{0,0,1\}$ компонента поля, для точки на його осі, має вираз:

$B_{z}(h)=k\,I\,{\vec {e}}_{z}\cdot \int _{0}^{H}{\frac {[{\vec {dS}}(h)\times {\vec {r}}]}{({\vec {r}}\cdot {\vec {r}})^{3/2}}}=k\,I{\tfrac {2\pi \,N}{H}}\left({\tfrac {h}{\sqrt {R^{2}+h^{2}}}}+{\tfrac {(H-h)}{\sqrt {R^{2}+(H-h)^{2}}}}\right)$

форма запису через кути під якими видні круглі вікна на кінцях соленоїда:

$\textstyle B_{z}(h)=k\,I{\tfrac {2\pi \,N}{R}}\left({\tfrac {\sin(\alpha )\cot(\alpha )+\sin(\beta )\cot(\beta )}{\cot(\alpha )+\cot(\beta )}}\right)$, де $\scriptstyle \left\{{\begin{array}{l}sin(\alpha )=R/{\sqrt {R^{2}+h^{2}}}\\sin(\beta )=R/{\sqrt {R^{2}+(H-h)^{2}}}\end{array}}\right.\iff \left\{{\begin{array}{l}h=R\cot(\alpha )\\H=R(\cot(\alpha )+\cot(\beta ))\end{array}}\right.$

топологічно контакти соленоїда для виключення додаткових повздовжніх полів найпростіше розглядати за цілої кількості витків, вертикальний провід до виходу біфілярного контакту живлення: поряд прокладених ліній чи коаксіальної лінії. Напів виткові чи дрібно виткові прилади можуть давати невеликі але інколи суттєві розбіжності за їх точного аналізу наприклад з перевіркою законів збереження чи обрахунку індуктивності.

Величина поля у центрі $\scriptstyle h=H/2$ тонкого соленоїда:

$B_{z}(H/2)=k\,I\,{\tfrac {4\pi N}{\sqrt {H^{2}+(2R)^{2}}}}=$1.17702*10^(-6), [Тл]

нижня оцінка величини:

$\scriptstyle B_{z}(H/2)\xrightarrow {R/H\leq 1/4} k\,I\,{\tfrac {4\pi N}{H}}\left[1-2\left({\tfrac {R}{H}}\right)^{2}\right]\approx 1.15145\cdot 10^{-6},\quad \delta =-2.55652\cdot 10^{-8}=-2.17\%$

Поле на краях $\scriptstyle h=0$ відносно поля в центрі, задано тільки відношенням лінійних розмірів та прямує до 1/2. Тобто збільшення висоти чи довжини соленїда не приводить до покращення співвідношення, однак збільшує проміжок та однорідність поля всередені:

$\textstyle {\tfrac {B_{z}(0)}{B_{z}(H/2)}}={\tfrac {B_{z}(H)}{B_{z}(H/2)}}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\tfrac {1+(2R/H)^{2}}{1+(R/H)^{2}}}}=$ 0.54

верхня оцінка співвідношення:

$\scriptstyle {\tfrac {B_{z}(0|H)}{B_{z}(H/2)}}\xrightarrow {R/H\leq 1/2} {\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {3}{4}}\left({\tfrac {R}{H}}\right)^{2}\approx 0.55,\quad \delta =+0.0045488=+0.84\%$

Максимальна зміна поля на осі соленоїда знаходиться майже на його краях $\scriptstyle h\approx -R^{5}/H^{4},\,(\delta =2.5\%,\,R/H=1/10)$, та залежить тільки від розмірів. Місце визначено нульовою другою похідною чи відповідним коренем полінома:

$\textstyle {B_{z}}''(h)=3QR^{2}\left({\tfrac {h-H}{\left((h-H)^{2}+R^{2}\right)^{5/2}}}-{\tfrac {h}{\left(h^{2}+R^{2}\right)^{5/2}}}\right)=0,\quad Q=k\,I\,{\tfrac {2\pi N}{H}}$

$(H-h)^{2}(h^{2}+R^{2})^{5}=h^{2}((H-h)^{2}+R^{2})^{5},\quad h=$-0.000050199, [м]

значення через лінійне наближення другої похідної на краю $\scriptstyle h\approx -{B_{z}}''(0)/{B_{z}}'''(0)$:

$\scriptstyle h\xrightarrow {R/H\leq 1/2} -{\frac {R^{5}}{H^{4}}}{\frac {1+(R/H)^{2}}{(1+(R/H)^{2})^{7/2}+4(R/H)^{5}-(R/H)^{7}}}\approx -{\tfrac {R^{5}}{H^{4}}}\left[1-{\tfrac {5}{2}}\left({\tfrac {R}{H}}\right)^{2}+{\tfrac {35}{8}}\left({\tfrac {R}{H}}\right)^{4}-4\left({\tfrac {R}{H}}\right)^{5}-{\tfrac {105}{16}}\left({\tfrac {R}{H}}\right)^{6}\right]$

$\scriptstyle h\approx -0.000050197,\quad \delta =1.69737*10^{-9}=-0.003\%$, значення для більш точного виразу.

Індуктивність соленоїда

Індуктивність соленоїда визначається так:

$L=\mu _{0}n^{2}V\!={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {z^{2}}{l}}$ (SI) $\qquad (6),$

$L=4\pi n^{2}V\!={\frac {z^{2}}{l}}$ (СГС) $\qquad (7),$

де

$\mu _{0}$ — магнітна стала,

$n=N/l$ — кількість витків на одиницю довжини соленоїда,

$N$ — кількість витків,

$V=Sl$ — об'єм соленоїда,

$z=\pi dN$ — довжина провідника, намотаного на соленоїд,

$S=\pi d^{2}/4$ — площа поперечного перерізу соленоїда,

$l$ — довжина соленоїда,

$d$ — діаметр витка.

Без використання магнітного матеріалу магнітна індукція $B$ в межах соленоїда є фактично постійною та дорівнює

$B=\mu _{0}{\frac {N}{l}}I=\mu _{0}nI\qquad (8),$

де $I$ — сила струму. Нехтуючи крайовими ефектами на кінцях соленоїда, отримаємо, що потокозчеплення $\Psi$ через котушку дорівнює магнітній індукції $B$, помноженій на площу поперечного перерізу $S$ і кількість витків $N$:

$\displaystyle \Psi =BSN=\mu _{0}N^{2}IS/l=\mu _{0}n^{2}VI=LI\qquad (9).$

Звідси випливає формула для індуктивності соленоїда

$\displaystyle L=\mu _{0}N^{2}S/l=\mu _{0}n^{2}V\qquad (10),$ еквівалентна попереднім двом формулам.

Соленоїд на змінному струмі

При змінному струмі соленоїд створює змінне магнітне поле. Якщо соленоїд використовується як електромагніт, то на змінному струмі величина сили притягання змінюється. За наявності якоря з магнетом'якого матеріалу напрямок сили притягання не змінюється. У разі магнітного якоря напрямок сили змінюється. На змінному струмі соленоїд має комплексний опір, активна складова якого визначається активним опором обмотки, а реактивна складова визначається індуктивністю обмотки.

Застосування

Соленоїди постійного струму найчастіше застосовують як поступальний силовий електропривід. На відміну від звичайних електромагнітів, забезпечує великий хід. Силова характеристика залежить від будови магнітної системи (осердя та корпусу) і може бути близька до лінійної.

Соленоїди надають руху ножицям для відрізання квитків і чеків у касових апаратах, язичкам замків, клапанам у двигунах, гідравлічних системах тощо. Один із найвідоміших прикладів — «тягове реле» автомобільного стартера. В енергетиці соленоїди застосовують у приводах високовольтних вимикачів.

Соленоїди на змінному струмі застосовують як індуктори для індукційного нагріву в індукційних печах тигельних.

Див. також

• Магніт
• Електромагніт
• Котушка індуктивності

Посилання

• Interactive Java Tutorial: Magnetic Field of a Solenoid National High Magnetic Field Laboratory
• Solenoid Basics for Robotics
• Discussion of Solenoids at Hyperphysics
• Basics of Rotary Voice Coils