Спектральна теорема

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Спектральна теорема — в лінійній алгебрі та функціональному аналізі, певні результати для лінійних операторів що до їх діагоналізації.

В загальному випадку, спектральна теорема про комутативні C*-алгебри.

Нормальні оператори в Гільбертових просторах[ред.ред. код]

Спектральна теорема застосовується до нормальних операторів в Гільбертових просторах.

Вона дає канонічну декомпозицію по власних підпросторах векторного простору в якому вона діє.

Якщо лінійний оператор діє в векторному просторі тоді позначимо через:

власний підпростір, що відповідає власному значенню
ортогональний проектор на

Тоді:

  • — простір представляється як пряма сума власних підпросторів (тобто, власні підпростори є ортогональними).
  • — лінійний оператор виражається через лінійну комбінацію ортогональних проекторів.

Для простору нескінченної розмірності

де σ — спектр A, а Pідемпотентний оператор.

Спектральна теорема є частковим випадком декомпозиції Шура та частковим випадком SVD.

Джерела[ред.ред. код]