Спектр кільця

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Спектр кільцямножина простих власних ідеалів \mathfrak p кільця R. Зазвичай на спектрі задається топологія Зариського. Простір \mathrm{Spec}(R) несе пучок локальних кілець \mathcal{O} (\mathrm{Spec}(R)) , званий структурним пучком. Для точки \mathfrak p \in \mathrm{Spec}(R) шар пучка \mathcal{O} (\mathrm{Spec}(R)) над \mathfrak p — це локалізація R_\mathfrak p кільця R щодо \mathfrak p.

Будь-якому гомоморфізму кілець \varphi:A\rightarrow B, що переводить одиницю в одиницю, відповідає неперервне відображення \varphi^* :\mathfrak p \mapsto \varphi^{-1}(\mathfrak p) . Якщо N — нільрадикал кільця А, то природне відображення \mathrm{Spec} (R/N) \mapsto \mathrm{Spec}(R) є гомеоморфізмом топологічних просторів.

Для ненільпотентного елементу f \in R нехай D(f)= \mathrm{Spec}(R) \setminus V(f), де V(f) = \{ \mathfrak p \in \mathrm{Spec}(R) | f \in \mathfrak p \}. Тоді простори D(f) і \mathrm{Spec}(R)_{(f)}, де (R)_{(f)} — локалізація R відносно f, є ізоморфними. Множини D(f) називаються головними відкритими множинами. Вони утворюють базис топологічного простору \mathrm{Spec}(R) . Точка \mathfrak p \in \mathrm{Spec}(R) замкнута тоді і тільки тоді, коли \mathfrak pмаксимальний ідеал кільця R.

Зіставляючи точці \mathfrak p її замикання \overline{\mathfrak p} в \mathrm{Spec}(R)\,, одержується взаємно однозначна відповідність між точками простору \mathrm{Spec}(R)\, і множиною замкнутих незвідних підмножин в \mathrm{Spec}(R)\,. Простір \mathrm{Spec}(R)\, є квазікомпактним, але, як правило, не є гаусдорфовим. Розмірністю простору \mathrm{Spec}(R)\, називається найбільше n, для якого існує послідовність відмінних замкнутих незвідних множин Z_0 \subset \ldots \subset Z_n \subseteq \mathrm{Spec}(R).

Багато властивостей кільця R можна охарактеризувати в термінах топологічного простору \mathrm{Spec}(R)\,. Наприклад кільце R нетерове тоді і тільки тоді, коли \mathrm{Spec}(R)\, — нетеровий простір; простір \mathrm{Spec}(R)\, незвідний тоді і тільки тоді, коли кільце R/N є областю цілісності; розмірність \mathrm{Spec}(R) збігається з розмірністю Круля кільця R і т.д.

Іноді розглядають максимальний спектр \mathrm{Specm}(R)\, — підпростір простору \mathrm{Spec}(R)\,, що складається із замкнутих точок.

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]