Спектр кільця

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Спектр кільцямножина простих власних ідеалів кільця R. Зазвичай на спектрі задається топологія Зариського. Простір несе пучок локальних кілець , званий структурним пучком. Для точки шар пучка над — це локалізація кільця R щодо .

Будь-якому гомоморфізму кілець , що переводить одиницю в одиницю, відповідає неперервне відображення . Якщо N — нільрадикал кільця А, то природне відображення є гомеоморфізмом топологічних просторів.

Для ненільпотентного елементу нехай , де . Тоді простори D(f) і , де — локалізація R відносно f, є ізоморфними. Множини D(f) називаються головними відкритими множинами. Вони утворюють базис топологічного простору . Точка замкнута тоді і тільки тоді, коли максимальний ідеал кільця R.

Зіставляючи точці її замикання в , одержується взаємно однозначна відповідність між точками простору і множиною замкнутих незвідних підмножин в . Простір є квазікомпактним, але, як правило, не є гаусдорфовим. Розмірністю простору називається найбільше n, для якого існує послідовність відмінних замкнутих незвідних множин .

Багато властивостей кільця R можна охарактеризувати в термінах топологічного простору . Наприклад кільце R нетерове тоді і тільки тоді, коли — нетеровий простір; простір незвідний тоді і тільки тоді, коли кільце R/N є областю цілісності; розмірність збігається з розмірністю Круля кільця R і т.д.

Іноді розглядають максимальний спектр — підпростір простору , що складається із замкнутих точок.

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]