Спектр кільця

Спектр кільця — множина простих власних ідеалів ${\mathfrak {p}}$ кільця R. Зазвичай на спектрі задається топологія Зариського. Іноді розглядають максимальний спектр $\mathrm {Specm} (R)\,$ — підпростір простору $\mathrm {Spec} (R)\,$, що складається із замкнутих точок.

Властивості

• Простір $\mathrm {Spec} (R)$ несе пучок локальних кілець ${\mathcal {O}}(\mathrm {Spec} (R))$ , званий структурним пучком. Для точки ${\mathfrak {p}}\in \mathrm {Spec} (R)$ шар пучка ${\mathcal {O}}(\mathrm {Spec} (R))$ над ${\mathfrak {p}}$ — це локалізація $R_{\mathfrak {p}}$ кільця R щодо ${\mathfrak {p}}$.

• Будь-якому гомоморфізму кілець $\varphi :A\rightarrow B$, що переводить одиницю в одиницю, відповідає неперервне відображення $\varphi ^{*}:{\mathfrak {p}}\mapsto \varphi ^{-1}({\mathfrak {p}})$ . Якщо N — нільрадикал кільця А, то природне відображення $\mathrm {Spec} (R/N)\mapsto \mathrm {Spec} (R)$ є гомеоморфізмом топологічних просторів.

• Для ненільпотентного елементу $f\in R$ нехай $D(f)=\mathrm {Spec} (R)\setminus V(f)$, де $V(f)=\{{\mathfrak {p}}\in \mathrm {Spec} (R)|f\in {\mathfrak {p}}\}$. Тоді простори D(f) і $\mathrm {Spec} (R)_{(f)}$, де $(R)_{(f)}$ — локалізація R відносно f, є ізоморфними. Множини D(f) називаються головними відкритими множинами. Вони утворюють базис топологічного простору $\mathrm {Spec} (R)$ .
• Точка ${\mathfrak {p}}\in \mathrm {Spec} (R)$ замкнута тоді і тільки тоді, коли ${\mathfrak {p}}$ — максимальний ідеал кільця R.

• Зіставляючи точці ${\mathfrak {p}}$ її замикання ${\overline {\mathfrak {p}}}$ в $\mathrm {Spec} (R)\,$, одержується взаємно однозначна відповідність між точками простору $\mathrm {Spec} (R)\,$ і множиною замкнутих незвідних підмножин в $\mathrm {Spec} (R)\,$.
• Простір $\mathrm {Spec} (R)\,$ є квазікомпактним, але, як правило, не є гаусдорфовим. Розмірністю простору $\mathrm {Spec} (R)\,$ називається найбільше n, для якого існує послідовність відмінних замкнутих незвідних множин $Z_{0}\subset \ldots \subset Z_{n}\subseteq \mathrm {Spec} (R)$.

• Багато властивостей кільця R можна охарактеризувати в термінах топологічного простору $\mathrm {Spec} (R)\,$. Наприклад кільце R нетерове тоді і тільки тоді, коли $\mathrm {Spec} (R)\,$ — нетеровий простір; простір $\mathrm {Spec} (R)\,$ є незвідним тоді і тільки тоді, коли кільце R/N є областю цілісності; розмірність $\mathrm {Spec} (R)$ збігається з розмірністю Круля кільця R і т.д.
• Для кожної підмножини $U\subset \mathop {\mathrm {Spec} } (R)$ яка є одночасно відкритою і замкнутою у топології Зариського існує єдиний ідемпотент $e\in R$ для якого $U=D(e)$. Таким чином одержується бієкція між підмножинами $U\subset \mathop {\mathrm {Spec} } (R),$ що є одночасно відкритими і замкнутими і ідемпотентами $e\in R$.
• Нехай $\mathop {\mathrm {Spec} } (R)=U\amalg V$ де $U$ і $V$ є відкритими (і, відповідно, також замкнутими) підмножинами. Тоді $R\cong R_{e}\times R_{1-e}$ $e\in R$ для якого $U\cong \mathop {\mathrm {Spec} } (R_{e})$ і $V\cong \mathop {\mathrm {Spec} } (R_{1-e}).$

Див. також

• Простий ідеал
• Схема (математика)
• Топологія Зариського

Література

• Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — Москва : Мир, 1972. — 160 с.(рос.)
• Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия. — М.: Мир, 1981.
• Шафаревич И. Р. Основы алгебраической геометрии. — М.: Наука, 1972.