Кон'юнкція

Кон'юнкція (лат. conjangere — об'єднувати) (операція AND) — двомісна логічна операція, що має значення «істина», якщо всі операнди мають значення «істина». Операція відображає вживання сполучника «і» в логічних висловлюваннях.

Позначається: в математиці та логіці як $\land$, в програмуванні як & чи and.

Визначення

Діаграма Венна для операції $A\land B$

Таблиця істинності виглядає таким чином:

$~A$	$~B$	$A\land B$
хибність	хибність	хибність
хибність	істина	хибність
істина	хибність	хибність
істина	істина	істина

Відповідною операцією в теорії множин є перетин множин.

Властивості

• асоціативність

$a\land (b\land c)\equiv (a\land b)\land c$

• комутативність

$a\land b\equiv b\land a$

• дистрибутивність

$a\land (b\lor c)\equiv (a\land b)\lor (a\land c)$

$a\land (b\land c)\equiv (a\land b)\land (a\land c)$

$a\land (b\oplus c)\equiv (a\land b)\oplus (a\land c)$

• ідемпотентність

$a\land a\equiv a$

• монотонність

$(a\rightarrow b)\rightarrow ((c\land a)\rightarrow (c\land b))$

$(a\rightarrow b)\rightarrow ((a\land c)\rightarrow (b\land c))$

Функціональна повнота

Множина операцій $\{\land ,\lnot \}$ є функціонально повною:

$a\lor b\equiv \lnot (\lnot a\land \lnot b)$

$a\rightarrow b\equiv \lnot (a\land \lnot b)$

$a\;|\;b\equiv \lnot (a\land b)$

$a\downarrow b\equiv \lnot a\land \lnot b$

Двійкові операції

Кон'юнкція часто використовується для двійкових операцій. Наприклад:

• 0 $\land$ 0 = 0
• 0 $\land$ 1 = 0
• 1 $\land$ 0 = 0
• 1 $\land$ 1 = 1
• 1010 $\land$ 1110 = 1010 (побітова операція)

Див. також

• Булева множина
• Закони де Моргана