Кон'юнкція

Кон'юнкція (лат. conjangere — об'єднувати) (операція AND) — двомісна логічна операція, що має значення «істина», якщо всі операнди мають значення «істина». Операція передбачає вживання сполучника «і» в логічних висловлюваннях.

Позначення

And зазвичай виражається з префіксом оператора K, або інфікс оператора. В математичній логіці, інфікс оператор, як правило, ∧, в електроніці $\cdot$, а в мовах програмування, & або and.

Правила усунення

A,

B.

Отже, A і B.

Або в позначенні логічного оператора:

$A,$

$B$

$\vdash A\land B$

Приклад:

Петро любить яблука.

Петро любить сало.

Отже, Петро любить яблука і сало.

Кон'юктивне усунення є іншим класичним дійсним, простим аргументом форми. Інтуїтивно, це дозволяє зробити висновок з будь-якої кон'юнкції або елемента цієї кон'юнкції.

A and B.

Отже, A.

...або навпаки,

A and B.

Отже, B.

В позначенні логічного оператора:

$A\land B$

$\vdash A$

...або навпаки,

$A\land B$

$\vdash B$

Визначення

Діаграма Венна для операції $A\land B$

Таблиця істинності виглядає таким чином:

$~A$	$~B$	$A\land B$
хибність	хибність	хибність
хибність	істина	хибність
істина	хибність	хибність
істина	істина	істина

Відповідною операцією в теорії множин є перетин множин.

Властивості

• асоціативність

$a\land (b\land c)\equiv (a\land b)\land c$

• комутативність

$a\land b\equiv b\land a$

• дистрибутивність

$a\land (b\lor c)\equiv (a\land b)\lor (a\land c)$

$a\land (b\land c)\equiv (a\land b)\land (a\land c)$

$a\land (b\oplus c)\equiv (a\land b)\oplus (a\land c)$

• ідемпотентність

$a\land a\equiv a$

• монотонність

$(a\rightarrow b)\rightarrow ((c\land a)\rightarrow (c\land b))$

$(a\rightarrow b)\rightarrow ((a\land c)\rightarrow (b\land c))$

Функціональна повнота

Множина операцій $\{\land ,\lnot \}$ є функціонально повною:

$a\lor b\equiv \lnot (\lnot a\land \lnot b)$

$a\rightarrow b\equiv \lnot (a\land \lnot b)$

$a\;|\;b\equiv \lnot (a\land b)$

$a\downarrow b\equiv \lnot a\land \lnot b$

Кон'юнкція в програмуванні

В комп'ютерному програмуванні і цифровій електроніці високого рівня логічне множення широко представлене інфіксним оператором, як правило, ключовими словами або символами, такими як: "AND", алгебраїчне множення, або символ "&". Логічні зв'язки часто використовуються для бітових операцій, де " 0 " відповідає помилці та " 1 " відповідає правді:

• 0 AND 0  =  0,
• 0 AND 1  =  0,
• 1 AND 0  =  0,
• 1 AND 1  =  1.

Операція може бути застосована і до двох бінарних виразів рівної довжини, приймаючи побітове AND кожної пари бітів на відповідних позиціях. Наприклад:

• 11000110 AND 10100011  =  10000010.

Див. також

• Булева множина
• Закони де Моргана