Інтеграл Рімана: відмінності між версіями

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
[неперевірена версія][неперевірена версія]
Вилучено вміст Додано вміст
Knu mechmat (обговорення | внесок)
Knu mechmat (обговорення | внесок)
Рядок 51: Рядок 51:


'''Термінологія''' Функція ''f'' називається ''підінтегральною функцією'', ''f(x)dx'' — ''підінтегральним виразом'', ''x'' — ''змінною інтегрування'', числа ''a'' та ''b'' — нижньою та верхнею межами інтегрування відповідно.
'''Термінологія''' Функція ''f'' називається ''підінтегральною функцією'', ''f(x)dx'' — ''підінтегральним виразом'', ''x'' — ''змінною інтегрування'', числа ''a'' та ''b'' — нижньою та верхнею межами інтегрування відповідно.



'''Позначення'''
'''Позначення'''

Версія за 07:22, 21 серпня 2013

Інтеграл Рімана дозволяє обчислити площу криволінійної трапеції як границю площ ступінчастих фігур, коли ширина «сходинок» прямує до нуля

Інтегра́л Рі́мана — одне з найважливіших понять математичного аналізу, є узагальненням поняття суми, яке знаходить широке застосування в багатьох галузях математики. Був уведений Бернгардом Ріманом в 1854 році, і є одною з перших формалізації поняття інтегралу.

Геометрична інтерпретація

Ріман формалізував поняття інтегралу, розроблене Ньютоном та Лейбніцем, як площу фігури, яка обмежена графіком функції та віссю абсцис. Для цього він розглянув ступінчасті фігури, які складаються з великої кількості вертикальних прямокутників, отриманих при розбитті відрізка інтегрування (див. Рис.).

Нехай функція f : [a, b]→R є неперервною і невід'ємною на відрізку [a, b]. Фігура, обмежена графіком цієї функції, відрізком [a, b] і прямими {x = a} та {x = b}, називається криволінійною трапецією. Обчислимо наближено площу цієї трапеції.

  1. Розіб'ємо відрізок [a, b] на n відрізків (n ≥ 1): a = x0 < x1 < x2 < … < xk < xk+1 < … < xn−1 < xn = b. Множина точок {x0, x1,…, xn} називається розбиттям відрізку інтегрування і позначається як λ або λ([a, b]).
  2. На кожному відрізку розбиття [xk, xk+1] довільно оберемо по одній точці ck (k = 0, 1,…, n − 1) і побудуємо вертикальні прямокутники Πk = [xkxk+1] × [0, f(ck)].
  3. Смугу криволінійної трапеції з основою [xk, xk+1] замінимо прямокутником Πk.

В результаті отримаємо ступінчасту фігуру, складену з прямокутників (див. Рис.).

Очевидно, що чим менші відрізки [xk, xk+1] розбиття, тим більше ступінчаста фігура наближається до криволінійної трапеції.

Зауваження Якщо для розбиття λ довжини усіх відрізків однакові (тобто Δxk := xk+1xk = Δx =: (b − a) / n для всіх k = 0,…, n − 1), то таке розбиття називається рівномірним.

Означення Діаметром (розміром) розбиття λ = {x0, x1,…, xn} називається число |λ| = max {Δxk, 0 ≤ kn − 1}.

Означення Величина

називається інтегральною сумою для функції f та точок {ci | λ}, які відповідають розбиттю λ.

Інтегральна сума дорівнює площі ступінчастої фігури, і її природно вважати наближеним значенням площі криволінійної трапеції. А за площу криволінійної трапеції природно прийняти границю чисел S(f, λ, {ci | λ}), коли |λ| → 0:

До обчислення границь такого типу приводять багато задач, наприклад, обчислення довжини пройденого шляху при прямолінійному русі за відомою швидкістю v(t) протягом часу від моменту t1 до t2.

Означення інтеграла Рімана

В цьому розділі вважаємо, що a < b.

Означення інтеграла Рімана Нехай функція f : [ab] → R та

  • для довільного розбиття λ відрізка [a, b] та відповідного йому набору точок {ci | λ} існує скінченна границя інтегральних сум S(f, λ, {ci | λ}) при |λ| → 0,
  • границя інтегральних сум S(f, λ, {ci | λ}) не залежить від розбиття λ і вибору точок ci.

Тоді таку границю називають інтегралом Рімана функції f по відрізку [ab] і позначають символом

У цьому випадку функція f(x) називається інтегровною (за Ріманом) на [ab]; в протилежному випадку f(x) є неінтегровною (за Ріманом) на відрізку [ab].

Термінологія Функція f називається підінтегральною функцією, f(x)dx — підінтегральним виразом, x — змінною інтегрування, числа a та b — нижньою та верхнею межами інтегрування відповідно.

Позначення Множину інтегровних за Ріманом функцій на відрізку [ab] позначають R([ab]).

Необхідною умовою інтегровності функції за Ріманом є її обмеженість: якщо функція f(x) необмежена на відрізку [ab], то границя інтегральних сум для цієї функції буде рівна ∞.

Властивості інтеграла Рімана

Властивості, пов'язані з проміжками інтегрування

  • Орієнтовність інтеграла: має місце поняття інтеграла Рімана по відрізку «в зворотньому напрямку», а саме для a > b вважаємо, що

  • Інтеграл по відрізку нульової довжини: має місце поняття інтеграла Рімана по відрізку нульової довжини, а саме для довільного aR вважаємо, що

  • Інтегровність на меншому відрізку: якщо fR([ab]), то fR([cd]) для довільного відрізку [cd] ⊂ [ab];
  • Адитивність: якщо fR([ab]) ∩ R([bc]) (a < b < c), то fR([ac]) і

Властивості зі знаком рівності

В цьому підрозділі вважаємо, що {a, b} ⊂ R — довільні.

  • Невиродженість: для всіх {a, b} ⊂ R має місце рівність

  • Лінійність: якщо {f, g} ⊂ R([ab]), то для довільних {α, β} ⊂ R([ab]) функція αf + βgR([ab]) та

  • Граничний перехід під знаком інтеграла Рімана: якщо fiR([ab]) рівномірно збігаються на [ab] до функції f, то fR([ab]) та

Нерівності

В цьому підрозділі вважаємо, що a < b.

  • Невід'ємність: якщо fR([ab]) та невід'ємна на [ab], то

  • Нерівність інтегралів: якщо {f, g} ⊂ R([ab]) та f(x) ≤ g(x) для всіх x ∈ [ab], то

  • Оцінка модуля інтеграла: якщо fR([ab]), то |f| ∈ R([ab]) та

Інтегровність за Ріманом функцій

Критерій Дарбу інтегровності функції

Докладніше: Критерій Дарбу
Суми Дарбу для розбиття на чотири інтервали: нижня (площа зеленого) і верхня (площа зеленого і сірого)

Нижня та верхня суми Дарбу́ для функції f(x) та розбиття λ — це інтегральні суми, в яких відповідні точки {ci | λ} обираються як точні нижня та верхня межі функції f(x) відповідно.

Означення Інтегральна сума для розбиття λ, для якої відповідні точки {ci | λ} вибираються з умови ci = inf[xi, xi+1] f(x), називається нижньою сумою Дарбу для функції f та розбиття λ і позначається одним із символів L(f, λ) (від англ. lower — «нижній») або s(f, λ).

Означення Інтегральна сума для розбиття λ, для якої відповідні точки {ci | λ} вибираються з умови ci = sup[xi, xi+1] f(x), називається верхньою сумою Дарбу для функції f та розбиття λ і позначається одним із символів U(f, λ) (від англ. upper — «верхній») або S(f, λ).


За допомогою верхнього та нижнього інтегралів Дарбу можна дати критерій інтегровності функції за Ріманом.

Теорема Нехай f : [ab] → R — обмежена функція. Функція fR([ab]) тоді і лише тоді, коли

Класи інтегровних за Ріманом функцій

  • Якщо функція є первісною функції , то інтеграл функції на відрізку можна обчислити за формулою Ньютона-Лейбніца: він дорівнює .
  • Неперервна на відрізку функція інтегровна за Ріманом. Розривні функції можуть бути інтегровними, але можуть і не бути; прикладом функції, не інтегровної за Ріманом, є всюди розривна функція Діріхле.

Історія

Таке означення інтеграла дано Коші[1], але воно застосовувалося лише до неперервних функцій.

Ріман в 1854 році[2], дав це ж означення без припущення неперервності.

Див. також

Посилання

  1. Cauchy A. L., Sur la mécanique céleste et sur un nouveau calcul appelé calcul des limites, Turin 1831
  2. Riemann В., «Göttinger Akad. Abhandl.», 1868, Bd 13

Література