Користувач:Vlasenko D

Про мене

Цей користувач з України. | Герб Харкова Цей користувач із Харкова
Цей користувач цікавиться математикою	Цей користувач цікавиться комп'ютерами

Статті, які потрібно створити або доповнити

Перелік статей, які потрібно створити або доповнити знаходиться тут.

Вікіпедія:Шаблони:Незавершені_статті/Науки

Пісочниця

{{Нп5||||}} {{Геометрія-доробити}} {{Доробити розділ}} {{Вікіфікувати розділ}} {{Приєднати до|Стаття|дата=березень 2014}}

{{Перекладена стаття|ru||Перекладено з російської Вікіпедії станом на 2014 року.}}

Розв'язати рівняння $3x=2({\rm {mod\ 7)}}$. $x={\frac {2}{3}}={\frac {2+7k}{3}}$. Підбираємо ціле число $k$, так щоб чисельник націло поділився на знаменник. Не складно побачити, що, $k=1$. Тоді $x={\frac {2}{3}}={\frac {2+7}{3}}={\frac {9}{3}}=3$. Отже, $x=3$. Виконаємо перевірку: $3*3=9=9-7=2$.

Розв'язати рівняння $13x=2({\textrm {mod}}\ 53)$. $x={\frac {2}{13}}={\frac {2+53k}{13}}$. Треба підібрати ціле число $k$, так щоб чисельник націло поділився на знаменник. Спростимо вираз: ${\frac {2+53k}{13}}=\left|53=13*4+1\right|={\frac {2+(13*4+1)k}{13}}={\frac {2+k}{13}}+4k$ Не складно побачити, що, $k=11$ або $k=-2$.

Тоді, якщо $k=-2$. $x={\frac {2}{13}}=={\frac {2-2}{13}}+4*(-2)=-8=45$. Отже, $x=45$. Виконаємо перевірку: $13*45=13*(-8)=-104=-104+53*2=2$.

Якщо $k=11$. $x={\frac {2}{13}}=={\frac {2+11}{13}}+4*11=1+44=45$. Розв'язати рівняння $2x^{2}-5x+3=0(mod11)$. Рівняння розв'язується як звичайне квадратне рівняння - за допомогою дискримінанту або теореми Віета. Обчислимо дискримінант: $=b^{2}-4ac=5^{2}-4*3*2=25-12*2=25-(12-11)*2=23=1(mod11)$ $x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}$ $x_{1,2}={\frac {5\pm {\sqrt {1}}}{2*2}}={\frac {5\pm 1}{4}}$ $x_{1}={\frac {5-1}{4}}=1$ $x_{2}={\frac {5+1}{4}}={\frac {3}{2}}={\frac {3+11}{2}}=7$ Виконаємо перевірку: $2*7^{2}-5*7+3=2*49-35+3=2*5-2+3=11=0$.

Розв'язати рівняння $3x^{2}-5x+4=0(mod13)$. Рівняння розв'язується як звичайне квадратне рівняння - за допомогою дискримінанту або теореми Віета. Обчислимо дискримінант: $=b^{2}-4ac=5^{2}-4*3*4=25-3*16=25-3*3=16=3(mod13)$ Якщо існує Неможливо розібрати вираз (SVG (MathML можна ввімкнути через плагін браузера): Недійсна відповідь («Math extension cannot connect to Restbase.») від сервера «http://localhost:6011/uk.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle \sqrt 5 (mod 7)} , то це буде ціле число від 0 до 6. Перевіримо, кожне з цих чисел на предмет того чи буде дорівнювати квадрат числа 3: $12^{2}=(-1)^{2}=1$ - не підходить $11^{2}=(-2)^{2}=4$ - не підходить $10^{2}=(-3)^{2}=9$ - не підходить $9^{2}=(-4)^{2}=16=3$ - підходить. Отже, ${\sqrt {3}}(mod13)=\pm 4=\{4,9\}$. Обчислимо корені: $x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}$ $x_{1,2}={\frac {5\pm {\sqrt {3}}}{2*3}}={\frac {5\pm 4}{6}}$ $x_{1}={\frac {5+4}{6}}={\frac {9}{6}}={\frac {3}{2}}={\frac {3+13}{2}}=8$ $x_{2}={\frac {5-4}{6}}={\frac {1+13}{6}}={\frac {14}{6}}={\frac {7}{3}}={\frac {7-13}{3}}={\frac {-6}{3}}=-2=11$ Виконаємо перевірку по теоремі Вієта: ${\frac {-5}{3}}=-(11+8)?$ $5=3*(11+8)$ $5=3*6$ $5=5$ - вірно ${\frac {4}{3}}=11*8?$ ${\frac {4}{3}}=(11-13)*(8-13)$ $4=2*5*3$ $4=2*2$ - вірно

Розв'язати рівняння $3x^{2}-2x+4=0(mod7)$. Рівняння розв'язується як звичайне квадратне рівняння - за допомогою дискримінанту або теореми Віета. Обчислимо дискримінант: $=b^{2}-4ac=2^{2}-4*3*4=4-3*16=4-48=4-48+7*7=5(mod7)$ Якщо існує ${\sqrt {5}}(mod7)$, то це буде ціле число від 0 до 6. Перевіримо, кожне з цих чисел на предмет того чи буде дорівнювати квадрат числа 5: $6^{2}=(-1)^{2}=1$ - не підходить $5^{2}=(-2)^{2}=4$ - не підходить $4^{2}=(-3)^{2}=2$ - не підходить Очевидно, що жодне число ціле число від 0 до 6 в квадраті не дорівнює 5. Отже, корінь з 5 не існує. Таким чином, квадратне рівняння не має розв'язків.

5</math>. Виконаємо перевірку: $13*45=13*(-8)=-80-24=$.

Решение линейного сравнения

Метод вычисления обратного элемента можно использовать для решения сравнения

$a\cdot x\equiv b{\pmod {n}}.$

Решение задается формулой

$x\equiv b\cdot a^{\varphi (n)-1}{\pmod {n}},$   если $(a,n)=1.$

Пример (Решение линейного сравнения)  

Рассмотрим сравнение

$7\cdot x\equiv 3{\pmod {9}}.$

Так как $(7,9)=1,$ можно воспользоваться указанной формулой:

$x=3\cdot 7^{\varphi (3^{2})-1}\;{\bmod {\;}}9=3\cdot 7^{3\cdot (3-1)-1}\;{\bmod {\;}}9=3\cdot 7^{5}\;{\bmod {\;}}9=3\cdot 49\cdot 49\cdot 7\;{\bmod {\;}}9=3\cdot 4\cdot 4\cdot 7\;{\bmod {\;}}9=3.$

Подстановкой убеждаемся, что

$7\cdot 3\equiv 3{\pmod {9}}.$

Замечание (Неединственность решения или отсутствие решения в случае (a, n) ≠ 1)  

Если $(a,n)\not =1$, сравнение либо имеет не единственное решение, либо не имеет решения. Как легко убедиться, сравнение

$2\cdot x\equiv 3{\pmod {4}}$

не имеет решения на множестве натуральных чисел. В то же время сравнение

$4\cdot x\equiv 6{\pmod {22}}$

имеет два решения

$x=7,\;x=18.$