Гіперповерхня

½Гіперповерхнею називається многовид розмірності $n$, який є підмножиною евклідового простору на одиницю більшої розмірності $n+1$.

Одиничний вектор нормалі

Нехай гіперповерхня задана параметричними рівняннями:

$(1)\qquad \mathbf {r} =\mathbf {r} (u^{1},u^{2},\dots u^{n})$

Будемо скрізь в цій статті вважати функції (1) достатньо гладкими (неперервні другі похідні), з невиродженим метричним тензором $g_{ij}=(\mathbf {r} _{i}\cdot \mathbf {r} _{j})$.

Координатні вектори $\mathbf {r} _{i}={\partial \mathbf {r} \over \partial u^{i}}$ в точці многовида $P$ задають афінний підпростір - дотичну до многовида гіперплощину. Ортогональним доповненням до гіперплощини є пряма $L$, що проходить через дану точку многовида і перпендикулярна до неї. Виберемо (якийсь один із двох можливих) напрям цієї прямої і відкладемо на прямій одиничний вектор $\mathbf {n}$. В сусідній (близькій до точки $P$) точці $P'$ многовида ортогональна пряма $L'$ буде близькою по напрямку до прямої $L$, тому проекція вектора $\mathbf {n}$ на $L'$ уже однозначно задає додатній напрям на прямій $L'$. Відкладемо в цьому додатньому напрямку прямої $L'$ одиничний вектор $\mathbf {n} '$. Таким чином, рухаючись від однієї точки многовида до іншої в деякій області многовида, ми матимемо векторну функцію:

$(2)\qquad \mathbf {n} =\mathbf {n} (P)=\mathbf {n} (u^{1},u^{2},\dots u^{n})$

Ця функція буде неперервною (оскільки гіперповерхня (1) гладка, без особливих точок). Спробуємо поширити функцію $\mathbf {n} =\mathbf {n} (P)$ на весь многовид. Це можна зробити в тому випадку, коли рухаючись по будь-якому замкнутому контуру, що лежить в гіперповерхні, почавши з точки $P$ і обчислюючи по неперервності вектор нормалі, ми вернемося в точку $P$ з тим самим напрямком вектора нормалі. Така гіперповерхня називається двосторонньою або орієнтовною. Але бувають і такі гіперповерхні, що обійшовши деякий замкнутий контур ми повернемось в точку $P$ з протилежним вектором нормалі. Такі гіперповерхні називають односторонніми або неорієнтовними. Прикладами односторонніх гіперповерхонь є стрічка Мебіуса та пляшка Клейна.

Із ортогональності вектора нормалі до координатних векторів гіперповерхні маємо рівняння:

$(3)\qquad (\mathbf {n} \cdot \mathbf {r} _{i})=0$

а одинична довжина вектора нормалі описується рівнянням:

$(4)\qquad \mathbf {n} ^{2}=(\mathbf {n} \cdot \mathbf {n} )=1$

Тензор повної кривини

Із розкладу

$(5)\qquad \mathbf {r} _{ij}=\Gamma _{ij}^{k}\mathbf {r} _{k}+\mathbf {b} _{ij}$

і того факту, що існує лише один напрям $\mathbf {n}$, ортогональний до векторів $\mathbf {r} _{i}$, слідує, що всі вектори $\mathbf {b} _{ij}$ колінеарні вектору $\mathbf {n}$, тобто ми можемо записати:

$(6)\qquad \mathbf {b} _{ij}=\mathbf {n} b_{ij}$

Числа $b_{ij}$ є проекціями векторів $\mathbf {b} _{ij}$ на вектор нормалі $\mathbf {n}$, а тому можуть бути як додатніми так і від'ємними. Відповідно до формули (6), кривина всіх геодезичних ліній, що проходять через фіксовану точку $P$ многовиду, паралельна вектору $\mathbf {n}$ (центри кривини лежать на прямій, що ортогональна до многовиду):

$(7)\qquad \mathbf {k} =\mathbf {b} _{ij}\tau ^{i}\tau ^{j}=\mathbf {n} b_{ij}\tau ^{i}\tau ^{j}=\mathbf {n} k$

$(7a)\qquad k=b_{ij}\tau ^{i}\tau ^{j}$

Похідні вектора нормалі

Диференціювання по координатам многовида формули (4) дає:

$(8)\qquad {\partial \over \partial u^{i}}\mathbf {n} ^{2}=2(\mathbf {n} \cdot \mathbf {n} _{i})=0$

тобто похідні одиничного вектора нормалі $\mathbf {n} _{i}={\partial \mathbf {n} \over \partial u^{i}}$ ортогональні до самого вектора нормалі $\mathbf {n}$, а тому лежать в дотичній до многовида гіперплощині. Ми можемо розкласти вектор $\mathbf {n} _{i}$ по базисних векторах дотичного простору:

$(9)\qquad \mathbf {n} _{i}=\alpha _{i}^{j}\mathbf {r} _{j}$

Знайдемо коефіцієнти розкладу $\alpha _{i}^{j}$. Для цього помножимо ліву і праву частини формули (9) скалярно на вектор $\mathbf {r} _{k}$.
Для лівої частини маємо:

$(10)\qquad (\mathbf {n} _{i}\cdot \mathbf {r} _{k})=\partial _{i}(\mathbf {n} \cdot \mathbf {r} _{k})-(\mathbf {n} \cdot \mathbf {r} _{ik})=-b_{ik}$

А для правої:

$(11)\qquad \alpha _{i}^{j}(\mathbf {r} _{j}\cdot \mathbf {r} _{k})=\alpha _{i}^{j}g_{jk}=\alpha _{ik}$

Із формул (9-11) одержуємо наступну формулу для обчислення похідних одиничного вектора нормалі через тензор повної кривини:

$(12)\qquad \mathbf {n} _{i}=-b_{i}^{j}\mathbf {r} _{j}$