Формула Лейбніца для визначників

Формула Лейбніца виражає визначник квадратної матриці

$A=(a_{ij})_{i,j=1,\dots ,n}$

через перестановки елементів матриці. Для n×n матриці формула така

$\det(A)=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{\sigma (i),i},$

де sgn — парність перестановки у групі перестановок S_n, яка повертає +1 і −1 для парних і непарних, відповідно.

Інший поширений запис цієї формули із використанням символу Леві-Чивіти і нотації Ейнштейна

$\det(A)=\epsilon ^{i_{1}\cdots i_{n}}{a}_{1i_{1}}\cdots {a}_{ni_{n}},$

може бути більш знайомим для фізиків.

Пряме обчислення формули Лейбніца з означення потребує $\Omega (n!\cdot n)$ дій, тобто кількість операцій асимптотично пропорційна до n факторіал — бо n! це число перестановок порядку n. Це непрактично складно для великих n. Натомість, визначник можна обчислити за O(n³) дій, використовуючи LU розклад матриці $A=LU$ (зазвичай через метод Гауса або подібний), в цьому випадку $\det A=(\det L)(\det U)$ а визначники трикутних матриць L і U є просто добутками їх діагональних елементів. (Однак, у практичному застосуванні чисельної лінійної алгебри, явний розрахунок визначника необхідний рідко.)