Теорія Редже

Теорія Редже (метод полюсів Редже, метод комплексних кутових моментів) — метод описання та дослідження розсіяння елементарних частинок в квантовій механіці та квантовій теорії поля, що ґрунтується на формальному аналітичному продовженні парціальних амплітуд з області фізичних значень моменту імпульсу $M=\hbar \ell ,\ell =0,1,2,\ldots$ в область комплексних значень $\ell$. Метод запровадив італійський фізик Туліо Редже при вивченні аналітичних властивостей квантовомеханічної амплітуди розсіяння.

Суть теорії Редже

Теорія Редже виникла при дослідженні потенціального розсіювання в квантовій механіці. Основна ідея полягала в тому, що квантові числа кутового моменту в загальному випадку можуть набувати комплексних значень, тоді парціальну амплітуду $a_{\ell }(k)$ інтерполюють до функції $a(\ell ,k)$, яка для цілих значень $\ell$ збігається з $a_{\ell }(k)$. Для певного типу потенціалів (наприклад, юкавського потенціалу) сингулярності $a(\ell ,k)$ виявляються простими полюсами (полюси Редже), що змінюють місце знаходження в комплексній площині кутового моменту зі зміною енергії. Їхнє розташування визначається зі співвідношення $\ell =\alpha (k),$ де $\alpha (k)$ — функція енергії, що називається траєкторією Редже (може бути представлена як функція кінематичних змінних Мандельштама, $s,t,u$). Кожній сім'ї резонансів, а також набору зв'язаних станів відповідає одна траєкторія Редже. Ідея Редже була успішно розвинута в рамках фізики високих енергій.

Зокрема, при певних не дуже великих $t$, де $\alpha (t)$ дійсна, цілочисельні значення $\alpha (t)$ відповідають стабільним зв'язаним станам. При великих $t$, що перевищують границю суцільного спектру (кінетична енергія частинки додатня), функція $\alpha (t)$ стає комплексною: $\alpha (t)={\text{Re }}\alpha (t)+i{\text{Im }}\alpha (t)$. Тоді дійсна частина продовжує визначати положення тепер вже резонансного рівня, а уявна частина пропорційна повній ширині рівня, тобто визначає час життя резонансу.

У теорії $S$-матриці немає рівняння Шредінгера, тож не можна отримати амплітуду розсіяння таким шляхом, як у квантовій механіці, звідки безпосередньо можна було б вивчати її аналітичні властивості. Отже, існування полюсів Редже насправді є припущенням, але це припущення дозволяє розв'язувати деякі проблеми теорії і, що найголовніше, підтверджується великою кількістю феноменологічних спостережень.

Якщо застосовувати ідею Редже до теорії релятивістської $S$-матриці, можна показати, зробивши ряд припущень, що релятивістську парціальну амплітуду $A_{\ell }(t)$ можна аналітично продовжити до комплексних значень $\ell$ і при тому єдиним способом. Отримана фунцкія $A(\ell ,t)$ має прості полюси (першопочаткове припущення) при $\ell =\alpha (t).$ Кожен полюс дає внесок в амплітуду розсіяння, який асимптотично ($s\rightarrow \infty$ при фіксованому $t$) поводиться як

$$A(s,t)\sim _{s\rightarrow \infty }s^{\alpha (t)}.$$

Тобто сингулярність, що має найбільшу дійсну частину (основна сингулярність) в $t$-каналі визначає асимптотичне поводження амплітуди розсіяння в $s$-каналі. Насправді, в теорії Редже, що застосовується в теорії $S$-матриці, вигляд сингулярностей складніший, аніж прості полюси (наприклад, наявність таких сингулярностей, як розрізи, які значно ускладнюють теорію Редже).

Кросинг

Основним принципом кросингу є те, що з однієї і тієї ж функції $A(s,t)$ аналітично продовженої в три фізичні області значень кінематичних змінних отримується амплітуда розсіяння для відповідної області, де $s,t,u$ пов'язані як

$$s+t+u=\sum _{i=1}^{4}m_{i}^{2}.$$

Таке твердження виявляється правильним для діаграм Фейнмана, де, наприклад, для реакцій $e^{-}e^{-}\rightarrow e^{-}e^{-}$ і $e^{+}e^{-}\rightarrow e^{+}e^{-}$ для опису використовується одна і та ж діаграма Фейнмана. Кросингова симетрія є наслідком аналітичних властивостей амплітуди. Припустімо, що є процес

$$a+b\rightarrow c+d,$$

амплітуду можна записати у вигляді $A_{a+b\rightarrow c+d}(s,t,u)$, лишаючи $u$  для симетрії, але пам'ятаючи, що вона не є незалежною змінною. Фізичною областю для вищенаписаного процесу є область, де $s>\max\{(m_{a}+m_{b})^{2},(m_{c}+m_{d})^{2}\}$. В загальному випадку основна частина фізичної області по $t$ і $u$ має обмеження $t,u<0$. Амплітуда може бути аналітично проджена в область $t>\max\{(m_{a}+m_{\bar {c}})^{2},(m_{\bar {b}}+m_{d})^{2}\}$ і $s,u<0$, в такій області матимемо амплітуду для процесу в $t$-каналі

$$a+{\bar {c}}\rightarrow {\bar {b}}+d,$$

де ${\bar {c}}$ і ${\bar {b}}$ античастинки відповідно для $b$ і $c$. Таким чином, для амплітуд існуватиме рівність

$$A_{a+b\rightarrow c+d}(s,t,u)=A_{a+{\bar {c}}\rightarrow {\bar {b}}+d}(t,s,u).$$

Полюси Редже в квантовій механіці

У квантовій механіці теорія Редже застосовна тільки до певного класу потенціалів, до них є дві умови:

$$r^{2}U(r)\rightarrow _{r\rightarrow 0}0;rU(r)\rightarrow _{r\rightarrow \infty }0.$$

Тоді парціальна амплітуда, продовжена в комплексну площину кутового моменту, запишеться так

$$a(\ell ,k)={\frac {e^{i\pi \ell }g(\ell ,k)-g(\ell ,-k)}{2ikg(\ell ,-k)}},$$

де $g(\ell ,k)$ так звана функція Йоста. Важливий клас потенціалів, що мають вищезазначені властивості записується у вигляді узагальненого потенціалу Юкави

$$U(r)=\int _{m}^{\infty }c(\mu )e^{-\mu r}d\mu .$$

Для $c(\mu )=C={\text{const}}$ цей потенціал збігається з потенціалом Юкави в його початковій формі, яку використовув Юкава

$$U(r)=C{\frac {e^{-\mu r}}{r}}.$$

Амплітуда розсіяння в борнівському наближенні, що відповідає цьому потенціалу, має вигляд $f(q)\sim {\frac {1}{t-m^{2}}},$, в якій $t=-q^{2}=-({\textbf {k}}'-{\textbf {k}})^{2}$ і яка подібна на амплітуду обміну скалярним мезоном. Таким чином, взаємодія при потенціалах юкавського типу має схожість із взаємодією в теорії $S$-матриці.

Функції Йоста мають такі аналітичні властивості : перше — для ${\text{Re }}{\textrm {}}\ell >-1/2$ сингулярностями $a(\ell ,k)$ як функції $\ell$ є скінченна кількість простих полюсів, друге — амплітуда $a(\ell ,k)$ прямує експотенціально до нуля при $|\ell |\rightarrow \infty$, коли ${\text{Re }}{\textrm {}}\ell >-1/{2}.$.

Таким чином, задовольняються всі умови щодо аналітичного продовження функції $a(\ell ,k)$ , яку до того ж може бути продовжено єдиним способом. Далі можна отримати представлення Ватсона-Зомерфельда для $|cos\theta |\rightarrow \infty$ і фіксованої енергії $k$, амплітуда розсіяння поводиться як

$$f(k,\theta ){\sim }_{|\cos \theta |\rightarrow \infty }-\beta (k){\frac {(-\cos \theta )^{\alpha (k)}}{\sin \pi \alpha (k)}},$$

де $\alpha (k)$ — це домінантна траєкторія Редже, $\beta (k)$ — лишок полюсу Редже, $\cos \theta =1+{\frac {2t}{s-4m^{2}}}.$ Зрозуміло, що вираз $|\cos \theta |\rightarrow \infty$ не має сенсу, а вивід має тільки демонстративне значення, але в релятивістській теорії ця умова може бути записана як $|t|\rightarrow \infty$, а вона вже має фізичний зміст.

За наявності обмінної взаємодії у виразі для амплітуди з'являється множник $(-1)^{\ell }$. У цьому випадку умова можливості аналітичного продовження не задовольняється, оскільки при $|\ell |\rightarrow \infty$ цей множник вносить розбіжність в амплітуду. В результаті теорема Карлсона не справджується, цю проблему можна зняти, якщо ввести ще одне додаткове квантове число — сигнатуру.

У квантовій механіці множник $(-1)^{\ell }$ з'являється тільки в окремих випадках (наявності обмінних взаємодій), в той час як в релятивістській теорії він є наслідком кросингу і не може бути виключеним, тому врахування сигнатури в ній необхідне всюди.

Полюси Редже в релятивістській квантовій теорії

Можна показати, що для парціальної амплітуди для випадку релятивистської квантової теорії можливе представлення Фруассара-Грибова, вводячи нове квантове число — сигнатуру, яка приймає два значення $\xi =\pm 1$, можна переписати амплітуду із визначеною сигнатурою, що має «гарну» поведінку при $\ell \rightarrow \infty$:

$$A^{\xi }(z_{t},t)=-\sum _{i_{\xi }}\pi (2\alpha _{i_{\xi }}(s)+1)\beta _{i_{\xi }}(s){\frac {P_{\alpha _{i_{\xi }}}(-z_{t})}{\sin \pi \alpha _{i_{\xi }}}}-{\frac {1}{2i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }(2\ell +1)A^{\xi }(\ell ,s){\frac {P_{\ell }(-z_{t})}{\sin \pi \ell }}d\ell ,$$

де сумування по полюсах із визначеною сигнатурою і $z_{t}\equiv \cos \theta _{t}=1+{\frac {2s}{t-4m^{2}}}.$ Повна амплітуда тоді

$$A(z_{t},t)=-\sum _{\xi =\pm 1}\sum _{i_{\xi }}{\frac {1+\xi e^{-i\pi \ell }}{2}}\pi (2\alpha _{i_{\xi }}(s)+1)\beta _{i_{\xi }}(s){\frac {P_{\alpha _{i_{\xi }}}(-z_{t})}{\sin \pi \alpha _{i_{\xi }}}}-{\frac {1}{2i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }{\frac {1+\xi e^{-i\pi \ell }}{2}}(2\ell +1)A^{\xi }(\ell ,s){\frac {P_{\ell }(-z_{t})}{\sin \pi \ell }}d\ell ,$$

при великих значеннях $|z_{t}|$, враховуючи тільки крайній правий полюс,

$$A(s,t)\sim _{s\rightarrow \infty }-\beta (t){\frac {1+\xi e^{-i\pi \ell }}{\sin \pi \alpha (t)}}s^{\alpha (t)},$$

що збігається з основним виразом для полюсу домінантного вкладу в амплітуди розсіяння траєкторії Редже $\alpha (t)$ , тільки додатково із сигнатурним множником $(1+\xi e^{-i\pi \ell })$.

Див. також

• Померон
• Одерон

Література

• Ширков Д. В., Свойства траекторий полюсов Редже, «УФН», 1970, т. 102, в. 1
• Коллинз П. Д. Б., Сквайр Э. Дж., Полюса Редже в физике частиц, пер. с англ., М., 1971
• Regge Т., Introduction to complex· orbital momenta, «Nuovo Cim.», 1959, v. 14, p. 951
• R.J. Eden, Regge poles and elementary particles, Rep. Prog. Phys. 34 995—1053 (1971)
• A.C. Irving, R.P. Worden, Regge phenomenology, Phys.Rept. 34, 117—231 (1977)