Замкнута множина: відмінності між версіями
Перейти до навігації
Перейти до пошуку
[перевірена версія] | [перевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
Yurchor (обговорення | внесок) м правопис |
так трошки грамматичніше |
||
Рядок 1: | Рядок 1: | ||
{{Dablink|Для терміна «Замкнутість» див. [[Замкнутість|інші значення]].}} |
{{Dablink|Для терміна «Замкнутість» див. [[Замкнутість|інші значення]].}} |
||
'''За́мкнута множина́''' — підмножина простору, [[доповнення множин|доповнення]] до якої [[відкрита множина |
'''За́мкнута множина́''' — підмножина простору, [[доповнення множин|доповнення]] до якої [[відкрита множина]]. |
||
== Означення == |
== Означення == |
Версія за 10:08, 21 травня 2018
За́мкнута множина́ — підмножина простору, доповнення до якої відкрита множина.
Означення
Нехай дано топологічний простір . Множина називається замкнутою відносно топології , якщо існує відкрита множина така що
Приклади
- Весь простір , а також порожня множина завжди замкнуті.
- Інтервал замкнутий в стандартній топології на дійсній прямій, бо його доповнення відкрите.
- Множина замкнута в просторі раціональних чисел , але не замкнута в просторі всіх дійсних чисел .
Властивості
Із аксіом означення топології випливає:
- перетин будь-якого набору замкнутих множин є замкнутою множиною
- об'єднання скінченної кількості замкнутих множин є замкнутою множиною
Інші властивості:
- множина може бути ні замкнутою ні відкритою одночасно, як наприклад напіввідкритий інтервал в , (при стандартній топології на )
- множина може бути і відкритою і замкнутою водночас — такими є всі підмножини в дискретній топології (де топологія — набір всіх підмножин даної множини)
Див. також
Література
- Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1976. — 544 с. — ISBN 5-9221-0266-4.(рос.)
- С. Т. Завало (1972). Елементи аналізу. Алгебра многочленів. Київ: Радянська школа.
- Фихтенгольц (1954). Основы математического анализа. Москва: Радянська школа.