Замкнута множина: відмінності між версіями
Перейти до навігації
Перейти до пошуку
[неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
Олюсь (обговорення | внесок) мНемає опису редагування |
Звірі (обговорення | внесок) Немає опису редагування |
||
Рядок 12: | Рядок 12: | ||
* Множина <math>\mathbb{Q} \cap [0,1]</math> замкнена в просторі [[Раціональне число|раціональних чисел]] <math>\mathbb{Q}</math>, але не замкнене в просторі всіх [[дійсні числа|дійсних чисел]] <math>\mathbb{R}</math>. |
* Множина <math>\mathbb{Q} \cap [0,1]</math> замкнена в просторі [[Раціональне число|раціональних чисел]] <math>\mathbb{Q}</math>, але не замкнене в просторі всіх [[дійсні числа|дійсних чисел]] <math>\mathbb{R}</math>. |
||
== Властивості == |
|||
Із аксіом означення [[топологічний простір|топології]] випливає: |
|||
* перетин будь-якого набору закритих множин є закритою множиною |
|||
* обєдання скінченної кількості закритих множин є закритою множиною |
|||
Інші властивості: |
|||
* множина може бути ні закритою ні відкритою одночасно, як наприклад напіввідкритий інтервал в <math>\mathbb{R}</math>, <math>[a,b)</math> (при стандартній топології на <math>\mathbb{R}</math>) |
|||
* множина може бути і відкритою і закритою водночас - такими є всі підмножини в дискретній топології(де топологія - набір всіх підмножин даної множини) |
|||
== Див. також == |
== Див. також == |
||
Рядок 29: | Рядок 37: | ||
|дата = 1954 |
|дата = 1954 |
||
|знаходження = Москва}} |
|знаходження = Москва}} |
||
# R.Wald, ''General Relativity'' |
|||
[[Категорія:Топологія]] |
[[Категорія:Топологія]] |
Версія за 16:28, 2 березня 2009
За́мкнені мно́жини в математичному аналізі та функціональному аналізі — це множина, яка складається з усіх елементів універсальної множини, що не входять до даної відкритої множини (див. Доповнення множин).
Означення
Нехай дано топологічний простір . Множина называєтся замкненою відносно топології , якщо існує відкрита множина така що
Приклади
- Весь простір , а також порожня множина завжди замкнені.
- Інтервал замкнений в стандартній топології на дійсній прямій, бо його доповнення відкрите.
- Множина замкнена в просторі раціональних чисел , але не замкнене в просторі всіх дійсних чисел .
Властивості
Із аксіом означення топології випливає:
- перетин будь-якого набору закритих множин є закритою множиною
- обєдання скінченної кількості закритих множин є закритою множиною
Інші властивості:
- множина може бути ні закритою ні відкритою одночасно, як наприклад напіввідкритий інтервал в , (при стандартній топології на )
- множина може бути і відкритою і закритою водночас - такими є всі підмножини в дискретній топології(де топологія - набір всіх підмножин даної множини)
Див. також
Література
- С. Т. Завало (1972). Елементи аналізу. Алгебра многочленів. Київ: Радянська школа.
- Фихтенгольц (1954). Основы математического анализа. Москва: Радянська школа.
- R.Wald, General Relativity