Відмінності між версіями «Комплексний многовид»

Перейти до навігації Перейти до пошуку
м
Заміна застарілого математичного синтаксису відповідно до mw:Extension:Math/Roadmap
м (Заміна застарілого математичного синтаксису відповідно до mw:Extension:Math/Roadmap)
 
'''Комплексний многовид''' — [[Гаусдорфів простір|гаусдорфів]] [[топологічний простір]], для якого існує покриття [[Відкрита множина|відкритими множинами]], кожна з яких є [[Гомеоморфізм|гомеоморфною]] [[Область (математика)|області]] в <math> n </math>-вимірному комплексному [[Векторний простір|векторному просторі]] <math>\CComplex^n</math>. При цьому в перетині двох відкритих множин перетворення локальних координат <math>\omega^{i} = u^{i} (z^{1}, ..., z^{n})</math> є комплексно-аналітичним, тобто функції <math> u^{i} </math> є [[голоморфна функція|голоморфними]], і [[Якобіан|визначник Якобі]]:
:<math> \frac {\partial (\omega^{1}, \dots, \omega^{n})} {\partial (z^{1}, ..., z^{n})} \neq 0 </math>.
не рівний нулю в жодній точці. Набір таких відкритих множин називається голоморфним [[Атлас (топологія)|атласом многовида]].
 
== Властивості ==
Оскільки умова голоморфності є значно сильнішою, ніж нескінченної диференційовності, теорія комплексних многовидів значно відрізняється від теорії [[Диференційовний многовид|гладких многовидів]]. Зокрема для комплексних многовидів не виконується аналог [[теорема Вітні про вкладення|теореми Вітні про вкладення]]. Наприклад згідно [[Теорема Ліувіля (комплексний аналіз)|теореми Ліувіля]] на [[Компактний простір|компактних]] [[Зв'язаний простір|зв'язаних]] комплексних многовидах єдиними голоморфними функціями є константи. Натомість при гіпотетичному вкладенні такого многовида в простір <math>\CComplex^N</math> обмеження координатних функцій в <math>\CComplex^N</math> були б не сталими голоморфними функціями. Тому для компактних зв'язаних комплексних многовидів, що не є однією точкою таке вкладення є неможливим. Комплексні многовиди, що можуть бути вкладені в <math>\CComplex^N</math> називаються многовидами Штейна.
 
Тоді коли [[Многовид|топологічні многовиди]], розмірність яких не рівна 4 можуть мати лише скінченну кількість не [[Дифеоморфізм|дифеоморфних]] гладких структур, комплексні многовиди різних розмірностей можуть мати [[Незліченна множина|незліченну]] кількість не біголоморфних комплексних структур.
== Приклади ==
* Довільна орієнтована двовимірна (дійсна розмірність) поверхня може бути перетвореною на комплексний одновимірний многовид. Комплексні одновимірні многовиди називаються [[Поверхня Рімана|поверхнями Рімана]].
* Комплексний <math>n</math>-вимірний [[векторний простір]] <math> \CComplex^n </math> відкрита [[куля]] <math>\left \{ z \in \mathbf{C}^n \ : \ \|z\| < 1 \right \}</math> і відкритий [[полікруг]] є прикладами нееквівалентних комплексних многовидів. Натомість дані три множини є дифеоморфними як гладкі дійсні многовиди розмірності 2''n''.
* Комплексний [[проективний простір]] <math>\CComplex P^n</math>.
* Комплексна [[еліптична крива]], що є дифеоморфною двовимірному тору <math> \mathbb S^1 \times \mathbb S^1 </math>
* Комплексні [[грассманіан|Грассманіани]].
288

редагувань

Навігаційне меню