Область цілісності: відмінності між версіями
[неперевірена версія] | [перевірена версія] |
Addbot (обговорення | внесок) |
м Заміна застарілого математичного синтаксису відповідно до mw:Extension:Math/Roadmap |
||
Рядок 9: | Рядок 9: | ||
* Кільце [[многочлен]]ів з коефіцієнтами з деякого цілісного кільця також є цілісним. Наприклад, цілісними будуть кільце <math>\Z[x]</math> многочленів однієї змінної з цілочисловими коефіцієнтами і кільце <math>\R[x,y]</math> многочленів двох змінних з дійсними коефіцієнтами. |
* Кільце [[многочлен]]ів з коефіцієнтами з деякого цілісного кільця також є цілісним. Наприклад, цілісними будуть кільце <math>\Z[x]</math> многочленів однієї змінної з цілочисловими коефіцієнтами і кільце <math>\R[x,y]</math> многочленів двох змінних з дійсними коефіцієнтами. |
||
* Множина дійсних чисел виду <math>a+b\sqrt{2}</math> є підкільцем поля <math>\R</math>, і, відповідно, областю цілісності. Те ж саме можна сказати про [[множина|множину]] [[комплексні числа|комплексних чисел]] виду <math>a+bi</math>, де <math>a</math> і <math>b</math> цілі. |
* Множина дійсних чисел виду <math>a+b\sqrt{2}</math> є підкільцем поля <math>\R</math>, і, відповідно, областю цілісності. Те ж саме можна сказати про [[множина|множину]] [[комплексні числа|комплексних чисел]] виду <math>a+bi</math>, де <math>a</math> і <math>b</math> цілі. |
||
* Нехай <math>U</math> — [[зв'язність|зв'язна]] [[відкрита множина|відкрита]] підмножина [[комплексна площина|комплексної площини]] <math>\ |
* Нехай <math>U</math> — [[зв'язність|зв'язна]] [[відкрита множина|відкрита]] підмножина [[комплексна площина|комплексної площини]] <math>\Complex</math>. Тоді кільце <math>H(U)</math> всіх [[голоморфна функція|голоморфних функцій]] <math>f:U\rightarrow\Complex</math> буде цілісним. Те ж саме вірно для будь-якого кільця аналітичних функцій, визначених на зв'язній підмножині аналітичного [[многовид]]у. |
||
* Якщо <math>K</math> — комутативне кільце, а <math>I</math> — ідеал в <math>K</math>, то [[фактор-кільце]] <math>K/I</math> цілісне тоді і тільки тоді, коли <math>I</math> — простий ідеал. |
* Якщо <math>K</math> — комутативне кільце, а <math>I</math> — ідеал в <math>K</math>, то [[фактор-кільце]] <math>K/I</math> цілісне тоді і тільки тоді, коли <math>I</math> — простий ідеал. |
||
* Кільце [[p-адичні числа|p-адичних]] цілих чисел. |
* Кільце [[p-адичні числа|p-адичних]] цілих чисел. |
Версія за 00:52, 27 грудня 2018
Область цілісності — поняття абстрактної алгебри: асоціативне комутативне кільце з одиницею, в якому 0≠1 і добуток двох ненульових елементів не рівний нулю. Умова 0≠1 виключає з розгляду тривіальне кільце {0}.
Еквівалентне визначення: область цілісності — це асоціативне комутативне кільце, в якому нульовий ідеал {0} є простим.
Приклади
- Простий приклад області цілісності — кільце цілих чисел .
- Будь-яке поле є областю цілісності. З іншого боку, будь-яка артинова область цілісності є полем. Зокрема, всі скінченні області цілісності є скінченними полями.
- Кільце многочленів з коефіцієнтами з деякого цілісного кільця також є цілісним. Наприклад, цілісними будуть кільце многочленів однієї змінної з цілочисловими коефіцієнтами і кільце многочленів двох змінних з дійсними коефіцієнтами.
- Множина дійсних чисел виду є підкільцем поля , і, відповідно, областю цілісності. Те ж саме можна сказати про множину комплексних чисел виду , де і цілі.
- Нехай — зв'язна відкрита підмножина комплексної площини . Тоді кільце всіх голоморфних функцій буде цілісним. Те ж саме вірно для будь-якого кільця аналітичних функцій, визначених на зв'язній підмножині аналітичного многовиду.
- Якщо — комутативне кільце, а — ідеал в , то фактор-кільце цілісне тоді і тільки тоді, коли — простий ідеал.
- Кільце p-адичних цілих чисел.
Подільність, прості незвідні елементи
Нехай і - елементи цілісного кільця . Говорять, що « ділить » або « - дільник » (і пишуть ), якщо і тільки якщо існує елемент такий, що .
Подільність транзитивна: якщо ділить і ділить , то ділить . Якщо ділить і , то ділить також їх суму і різниця .
Для кільця з одиницею елементи , які ділять 1, називаються оборотними або дільниками одиниці. Елементи а і b називаються асоційованими, якщо а ділить b і b ділить а. а і b асоційовані тоді і тільки тоді, коли , де e — оборотний елемент.
Ненульовий елемент , що не є оборотним називається незвідним, якщо його не можна розкласти в добуток двох елементів, що не є оборотними.
Ненульовий необоротний елемент називається простим, якщо з того, що , слідує або . Це визначення узагальнює поняття простого числа в кільці , проте враховує і негативні прості числа. Якщо — простий елемент кільця, то породжуваний ним головний ідеал буде простим. Будь-який простий елемент є незвідним, але зворотне вірно не у всіх областях цілісності.
Властивості
- Будь-яке поле, а також будь-яке кільце з одиницею, що міститься в деякому полі, є областю цілісності.
- Навпаки, будь-яка область цілісності може бути вкладена в деяке поле. Таке вкладення дає конструкція поля часток.
- Якщо — область цілісності, те кільце многочленів і кільце формальних степеневих рядів над також будуть областями цілісності.
- Якщо — комутативне кільце з одиницею і — деякий ідеал , то кільце є областю цілісності тоді і тільки тоді, коли ідеал є простим.
- Кільце буде областю цілісності тоді і тільки тоді, коли його спектр є незвідним топологічним простором.
- Прямий добуток кілець ніколи не буває областю цілісності, оскільки одиниця першого кільця, помножена на одиницю другого кільця, дасть 0.
- Тензорний добуток цілісних кілець теж буде цілісним кільцем.
- Характеристика області цілісності є або нулем, або простим числом.
Варіації і узагальнення
Іноді у визначенні області цілісності не вимагають комутативності. Прикладами некомутативних областей цілісності є тіла, а також підкільця тіл, що містять одиницю, наприклад кватерніони з цілими координатами. Проте, взагалі кажучи, невірно, що будь-яка некомутативна область цілісності може бути вкладена в деяке тіло.
Література
- Винберг Э. Б. Курс алгебри. — 4-е изд. — Москва : МЦНМО, 2011. — 592 с. — ISBN 978-5-94057-685-3.(рос.)
- Adamson Iain T. (1972). Elementary rings and modules. University Mathematical Texts. Oliver and Boyd. ISBN 0-05-002192-3.
- Bourbaki, Nicolas (1988), Algebra, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-19373-9
- Dummit, David S.; Foote, Richard M. (1999), Abstract algebra (2nd ed.), New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-36857-1
- Mac Lane, Saunders; Birkhoff, Garrett (1967), Algebra, New York: The Macmillan Co., MR0214415