Лема про вкладені відрізки

Лема про вкладені відрізки

Загальне формулювання

Нехай існують монотонно зростаюча варіанта $x_{n}$ та монотонно спадна варіанта $y_{n}$, причому завжди

$x_{n}<y_{n}$. (Посилання 1)

Якщо їхня різниця $y_{n}-x_{n}$ прямує до 0, тоді обидві варіанти мають спільну границю: $c=\lim x_{n}=\lim y_{n}$

Допоміжна теорема для доведення

Якщо варіанти $x_{n}$ та $y_{n}$ мають кінцеві границі:

$\lim x_{n}=a$, $\lim y_{n}=b$,

то і сума (різниця) їх також мають кінцеву границю, причому

$\lim(x_{n}\pm y_{n})=a\pm b$

Доведення

З умови теореми випливає, що

$x_{n}=a+\alpha _{n}$, $y_{n}=b+\beta _{n}$, (посилання 2)

де $\alpha _{n}$, $\beta _{n}$ - нескінченно малі. Тоді

$x_{n}\pm y_{n}=(a\pm b)+(\alpha _{n}\pm \beta _{n})$

Тут $\alpha _{n}\pm \beta _{n}$ є нескінченно мала по лемі 2. Тоді, користуючись визначенням границі, можна стверджувати, що варіанта $x_{n}\pm y_{n}$ має границю, що дорівнює $a\pm b$, що і потрібно було довести.

Доведення

Дійсно, при всіх значеннях n маємо: $y_{n}\leq y_{1}$, а значить, зважаючи на (1), і $x_{n}<y_{1}(n=1,2,3,...)$. Зростаюча змінна $x_{n}$ виявляється обмеженою згори, відповідно, вона має кінцеву границю $c=\lim x_{n}$.

Аналогічно, для спадної змінної $y_{n}$ будемо мати $y_{n}>x_{n}\geq x_{1}$, так що і вона прямує до кінцевою границі $c^{'}=\lim y_{n}$.

Але, відповідно до допоміжної теореми, різниця обох границь

$c^{'}-c=\lim(y_{n}-x_{n})$

тобто, за умовами рівна 0, так що $c^{'}=c$, що і треба було довести.

Класичне формулювання

Доведеному твердженню можна придати іншу форму, в якому воно частіше застосовується.

Назвемо проміжком [a,b] (де a < b) множину всіх чисел x, що задовольняють нерівностям $a\leq x\leq b$. Числа (або "точки") a та b називаються, відповідно, лівим та правим кінцями проміжка, а їх різниця b - a - довжиною проміжка. Неважко бачити, що на числовій вісі проміжку відповідає відрізок (тої ж довжини).

Домовимося говорити, що відрізок $[a^{'},b^{'}]$ міститься в відрізку [a,b], або вкладений в ньго, якщо всі точки першого відрізка належать іншому, або, що теж саме, якщо

$a\leq a^{'}\leq b^{'}\leq b$

Нехай існує нескінченна послідовність вкладених один в одний відрізків $[a_{1},b_{1}],[a_{2},b_{2}],...,[a_{n},b_{n}],...,$ так, що кожний наступний міститься в попередньому, при чому довжина цих відрізків прямує до 0 зі зростанням n:

$\lim(b_{n}-a_{n})=0$

Тоді кінці $a_{n}$ та $b_{n}$ відрізків (з різних боків) прямують до спільної границі

$c=\lim a_{n}=\lim b_{n}$,

що являє собою єдину точку, загальну для всіх проміжків.

Це лише перефразування доведеної вище теореми. Згідно з умовою,

$a_{n}\leq a_{n+1}<b_{n+1}\leq b_{n}$

так що лівий кінець $a_{n}$ та правий кінець $b_{n}$ n-го відрізка грають тут роль монотонних варіант $x_{n}$ та $y_{n}$.

Так як $a_{n}$ прямує до c зростаючи, а $b_{n}$ зменшуючись, то

$a_{n}\leq c\leq b_{n}(n=1,2,3...)$

тобто точка c дійсно належить всім нашим відрізкам. В той же час, іншої, відмінної від c, точки $c^{'}$ з тими ж властивостями бути не може, бо інакше ми мали б:

$b_{n}-a_{n}\geq |c^{'}-c|>0$

і довжина n-го відрізку не могла б прямувати до 0.

Джерела

• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — Москва : Наука, 1962. — Т. 1. — 607 с.(рос.)