Область цілісності: відмінності між версіями
[перевірена версія] | [неперевірена версія] |
Немає опису редагування |
|||
Рядок 1: | Рядок 1: | ||
'''Область цілісності''' — поняття [[абстрактна алгебра|абстрактної алгебри]]: [[асоціативність|асоціативне]] [[комутативність|комутативне]] [[кільце (алгебра)|кільце]] з [[одиниця|одиницею]], в якому 0 |
'''Область цілісності''' — поняття [[абстрактна алгебра|абстрактної алгебри]]: [[асоціативність|асоціативне]] [[комутативність|комутативне]] [[кільце (алгебра)|кільце]] з [[одиниця|одиницею]], в якому <math>0\not=1</math> і добуток двох ненульових елементів не рівний нулю. Умова <math>0\not=1</math> виключає з розгляду тривіальне кільце <math>\{0\}</math>. |
||
Еквівалентне визначення: область цілісності — це асоціативне комутативне кільце, в якому нульовий [[Ідеал (алгебра)|ідеал]] {0} є [[простий ідеал|простим]]. |
Еквівалентне визначення: область цілісності — це асоціативне комутативне кільце, в якому нульовий [[Ідеал (алгебра)|ідеал]] <math>\{0\}</math> є [[простий ідеал|простим]]. |
||
== Приклади == |
== Приклади == |
||
Рядок 9: | Рядок 9: | ||
* Кільце [[многочлен]]ів з коефіцієнтами з деякого цілісного кільця також є цілісним. Наприклад, цілісними будуть кільце <math>\Z[x]</math> многочленів однієї змінної з цілочисловими коефіцієнтами і кільце <math>\R[x,y]</math> многочленів двох змінних з дійсними коефіцієнтами. |
* Кільце [[многочлен]]ів з коефіцієнтами з деякого цілісного кільця також є цілісним. Наприклад, цілісними будуть кільце <math>\Z[x]</math> многочленів однієї змінної з цілочисловими коефіцієнтами і кільце <math>\R[x,y]</math> многочленів двох змінних з дійсними коефіцієнтами. |
||
* Множина дійсних чисел виду <math>a+b\sqrt{2}</math> є підкільцем поля <math>\R</math>, і, відповідно, областю цілісності. Те ж саме можна сказати про [[множина|множину]] [[комплексні числа|комплексних чисел]] виду <math>a+bi</math>, де <math>a</math> і <math>b</math> цілі. |
* Множина дійсних чисел виду <math>a+b\sqrt{2}</math> є підкільцем поля <math>\R</math>, і, відповідно, областю цілісності. Те ж саме можна сказати про [[множина|множину]] [[комплексні числа|комплексних чисел]] виду <math>a+bi</math>, де <math>a</math> і <math>b</math> цілі. |
||
* Нехай <math>U</math> — [[зв'язність|зв'язна]] [[відкрита множина|відкрита]] підмножина [[комплексна площина|комплексної площини]] <math>\Complex</math>. Тоді кільце <math>H(U)</math> всіх [[голоморфна функція|голоморфних функцій]] <math>f |
* Нехай <math>U</math> — [[зв'язність|зв'язна]] [[відкрита множина|відкрита]] підмножина [[комплексна площина|комплексної площини]] <math>\Complex</math>. Тоді кільце <math>H(U)</math> всіх [[голоморфна функція|голоморфних функцій]] <math>f\colon U\rightarrow\Complex</math> буде цілісним. Те ж саме вірно для будь-якого кільця аналітичних функцій, визначених на зв'язній підмножині аналітичного [[многовид]]у. |
||
* Якщо <math>K</math> — комутативне кільце, а <math>I</math> — ідеал в <math>K</math>, то [[фактор-кільце]] <math>K/I</math> цілісне тоді і тільки тоді, коли <math>I</math> — простий ідеал. |
* Якщо <math>K</math> — комутативне кільце, а <math>I</math> — ідеал в <math>K</math>, то [[фактор-кільце]] <math>K/I</math> цілісне тоді і тільки тоді, коли <math>I</math> — простий ідеал. |
||
* Кільце [[p-адичні числа|p-адичних]] цілих чисел. |
* Кільце [[p-адичні числа|p-адичних]] цілих чисел. |
||
*[[Факторкільце]] <math>\Z/m\Z</math> де ''m'' є [[Складене число|складеним числом]] не є областю цілісності. Дійсно, вибравши розклад числа <math>m = xy</math> (де <math>x</math> і <math>y</math> не є рівними <math>1</math> чи <math>m</math>). Тоді <math>x \not\equiv 0 \bmod{m}</math> і <math>y \not\equiv 0 \bmod{m}</math>, але <math>xy \equiv 0 \bmod{m}</math>. |
*[[Факторкільце]] <math>\Z/m\Z</math> де ''m'' є [[Складене число|складеним числом]] не є областю цілісності. Дійсно, вибравши розклад числа <math>m = xy</math> (де <math>x</math> і <math>y</math> не є рівними <math>1</math> чи <math>m</math>). Тоді <math>x \not\equiv 0 \bmod{m}</math> і <math>y \not\equiv 0 \bmod{m}</math>, але <math>xy \equiv 0 \bmod{m}</math>. |
||
*Коли ціле число <math>n</math> є квадратом цілого числа тобто <math>n = m^2</math>, кільце <math>\Z[x]/(x^2 - n)</math> не є областю цілісності. У цьому випадку <math>x^2 - n = (x - m)(x + m)</math> у <math>\Z[x]</math>і образи многочленів <math>x - m,\ x + m</math>у факторкільці є не рівними нулю, а їх добуток буде рівним нулю. |
*Коли ціле число <math>n</math> є квадратом цілого числа тобто <math>n = m^2</math>, кільце <math>\Z[x]/(x^2 - n)</math> не є областю цілісності. У цьому випадку <math>x^2 - n = (x - m)(x + m)</math> у <math>\Z[x]</math>і образи многочленів <math>x - m,\ x + m</math> у факторкільці є не рівними нулю, а їх добуток буде рівним нулю. |
||
*Кільце матриць розмірності |
*Кільце матриць розмірності <math>n\times n</math> над довільним ненульовим кільцем для <math>n\geq 2</math> не є областю цілісності. |
||
*Кільце неперервних функції на одиничному інтервалі не є областю цілісності. Наприклад функції |
*Кільце неперервних функції на одиничному інтервалі не є областю цілісності. Наприклад функції |
||
::<math> f(x) = \begin{cases} 1-2x & x \in \left [0, \tfrac{1}{2} \right ] \\ 0 & x \in \left [\tfrac{1}{2}, 1 \right ] \end{cases} \qquad g(x) = \begin{cases} 0 & x \in \left [0, \tfrac{1}{2} \right ] \\ 2x-1 & x \in \left [\tfrac{1}{2}, 1 \right ] \end{cases}</math> |
::<math> f(x) = \begin{cases} 1-2x & x \in \left [0, \tfrac{1}{2} \right ] \\ 0 & x \in \left [\tfrac{1}{2}, 1 \right ] \end{cases} \qquad g(x) = \begin{cases} 0 & x \in \left [0, \tfrac{1}{2} \right ] \\ 2x-1 & x \in \left [\tfrac{1}{2}, 1 \right ] \end{cases}</math> |
||
:не є всюди рівними нулю, натомість їх добуток <math>fg</math> є нульовою функцією. |
:не є всюди рівними нулю, натомість їх добуток <math>fg</math> є нульовою функцією. |
||
* Тензорний добуток <math>\Complex \otimes_{\R} \Complex</math> не є областю цілісності. У цьому кільці існують два [[Ідемпотентний елемент|ідемпотенти]] <math>e_1 = \tfrac{1}{2}(1 \otimes 1) - \tfrac{1}{2}(i \otimes i)</math> і <math>e_2 = \tfrac{1}{2}(1 \otimes 1) + \tfrac{1}{2}(i \otimes i)</math>добуток яких <math>e_1e_2 = 0</math>. |
* Тензорний добуток <math>\Complex \otimes_{\R} \Complex</math> не є областю цілісності. У цьому кільці існують два [[Ідемпотентний елемент|ідемпотенти]] <math>e_1 = \tfrac{1}{2}(1 \otimes 1) - \tfrac{1}{2}(i \otimes i)</math> і <math>e_2 = \tfrac{1}{2}(1 \otimes 1) + \tfrac{1}{2}(i \otimes i)</math> добуток яких <math>e_1e_2 = 0</math>. |
||
== Подільність, прості незвідні елементи == |
== Подільність, прості незвідні елементи == |
||
Рядок 26: | Рядок 26: | ||
Подільність [[транзитивність|транзитивна]]: якщо <math>a</math> ділить <math>b</math> і <math>b</math> ділить <math>c</math>, то <math>a</math> ділить <math>c</math>. Якщо <math>a</math> ділить <math>b</math> і <math>c</math>, то <math>a</math> ділить також їх суму <math>b+c</math> і різниця <math>b-c</math>. |
Подільність [[транзитивність|транзитивна]]: якщо <math>a</math> ділить <math>b</math> і <math>b</math> ділить <math>c</math>, то <math>a</math> ділить <math>c</math>. Якщо <math>a</math> ділить <math>b</math> і <math>c</math>, то <math>a</math> ділить також їх суму <math>b+c</math> і різниця <math>b-c</math>. |
||
Для кільця <math>K</math> з одиницею елементи <math>a\in K</math>, які ділять 1, називаються ''[[оборотний елемент|оборотними]]'' або ''дільниками одиниці''. |
Для кільця <math>K</math> з одиницею елементи <math>a\in K</math>, які ділять <math>1</math>, називаються ''[[оборотний елемент|оборотними]]'' або ''дільниками одиниці''. |
||
Елементи |
Елементи <math>a</math> і <math>b</math> називаються ''асоційованими'', якщо <math>a</math> ділить <math>b</math> і <math>b</math> ділить <math>a</math>. <math>a</math> і <math>b</math> асоційовані тоді і тільки тоді, коли <math>a=b*e</math>, де <math>e</math> — оборотний елемент. |
||
<math>a=b*e</math>, де e — оборотний елемент. |
|||
Ненульовий елемент <math>q</math>, що не є оборотним називається ''незвідним'', якщо його не можна розкласти в добуток двох елементів, що не є оборотними. |
Ненульовий елемент <math>q</math>, що не є оборотним називається ''незвідним'', якщо його не можна розкласти в добуток двох елементів, що не є оборотними. |
||
Рядок 40: | Рядок 39: | ||
* Якщо <math>A</math> — область цілісності, то кільце [[многочлен]]ів і кільце [[формальний степеневий ряд|формальних степеневих рядів]] над <math>A</math> також будуть областями цілісності. |
* Якщо <math>A</math> — область цілісності, то кільце [[многочлен]]ів і кільце [[формальний степеневий ряд|формальних степеневих рядів]] над <math>A</math> також будуть областями цілісності. |
||
* Якщо <math>A</math> — комутативне кільце з одиницею і <math>I</math> — деякий [[Ідеал (алгебра)|ідеал]] <math>A</math>, то кільце <math>A/I</math> є областю цілісності тоді і тільки тоді, коли ідеал <math>I</math> є [[простий ідеал|простим]]. |
* Якщо <math>A</math> — комутативне кільце з одиницею і <math>I</math> — деякий [[Ідеал (алгебра)|ідеал]] <math>A</math>, то кільце <math>A/I</math> є областю цілісності тоді і тільки тоді, коли ідеал <math>I</math> є [[простий ідеал|простим]]. |
||
*У області цілісності можна застосувати правило скорочення: якщо |
*У області цілісності можна застосувати правило скорочення: якщо <math>a\not=0</math>, то з рівності <math>ab=ac</math> випливає <math>b=c</math>. Навпаки, якщо для кожного елемента <math>a\not=0</math> рівності <math>ab=ac</math> випливає <math>b=c</math> то комутативне кільце є областю цілісності. |
||
* Кільце буде областю цілісності тоді і тільки тоді, коли його [[спектр кільця|спектр]] є незвідним топологічним простором. |
* Кільце буде областю цілісності тоді і тільки тоді, коли його [[спектр кільця|спектр]] є незвідним топологічним простором. |
||
* Прямий добуток кілець ніколи не є областю цілісності, оскільки одиниця першого кільця, помножена на одиницю другого кільця, дасть 0. |
* Прямий добуток кілець ніколи не є областю цілісності, оскільки одиниця першого кільця, помножена на одиницю другого кільця, дасть 0. |
||
Рядок 46: | Рядок 45: | ||
* [[Характеристика (алгебра)|Характеристика]] області цілісності є або нулем, або [[Просте число|простим числом]]. |
* [[Характеристика (алгебра)|Характеристика]] області цілісності є або нулем, або [[Просте число|простим числом]]. |
||
*[[Теорема Веддерберна]]: довільна скінченна область цілісності є полем. |
*[[Теорема Веддерберна]]: довільна скінченна область цілісності є полем. |
||
*Область цілісності <math>A</math> є рівною перетину [[Локалізація кільця|локалізацій]] <math>A_\mathfrak{m}</math>по всіх [[Максимальний ідеал|максимальних ідеалах]] <math>\mathfrak{m}.</math> |
*Область цілісності <math>A</math> є рівною перетину [[Локалізація кільця|локалізацій]] <math>A_\mathfrak{m}</math> по всіх [[Максимальний ідеал|максимальних ідеалах]] <math>\mathfrak{m}.</math> |
||
:Оскільки <math>A \subset A_\mathfrak{m}</math>для всіх максимальних ідеалів <math>\mathfrak{m}</math>, то також <math>A \subset \bigcap_\mathfrak{m} A_\mathfrak{m}.</math> |
:Оскільки <math>A \subset A_\mathfrak{m}</math>для всіх максимальних ідеалів <math>\mathfrak{m}</math>, то також <math>A \subset \bigcap_\mathfrak{m} A_\mathfrak{m}.</math> |
||
:Навпаки нехай <math>x \in \bigcap_\mathfrak{m} A_\mathfrak{m}</math>але <math>x \not \in A.</math>Множина <math>I = \{z \in A |
:Навпаки нехай <math>x \in \bigcap_\mathfrak{m} A_\mathfrak{m}</math>але <math>x \not \in A.</math> Множина <math>I = \{z \in A\colon zx \in A \}</math> є власним ідеалом у <math>A</math> (оскільки <math>1 \not \in I</math>). Тому <math>I</math> міститься у деякому максимальному ідеалі <math>\mathfrak{m}</math>. За умовою <math>x \subset A_\mathfrak{m},</math> тобто можна записати <math>x = a/s,\; a \in A, s \not \in \mathfrak{m}.</math> Але тоді <math>sx = a \in A</math> і тому має бути <math>s \in I \subset \mathfrak{m}.</math> Одержане протиріччя завершує доведення. |
||
== Варіації і узагальнення == |
== Варіації і узагальнення == |
||
⚫ | Іноді у визначенні області цілісності не вимагають комутативності. Прикладами некомутативних областей цілісності є [[тіло (алгебра)|тіла]], а також підкільця тіл, що містять одиницю, наприклад [[кватерніони]] з цілими координатами. Проте, взагалі кажучи, невірно, що будь-яка некомутативна область цілісності може бути вкладена в деяке тіло. |
||
Іноді у визначенні області цілісності не вимагають комутативності. |
|||
⚫ | |||
Проте, взагалі кажучи, невірно, що будь-яка некомутативна область цілісності може бути вкладена в деяке тіло. |
|||
== Література == |
== Література == |
Версія за 11:43, 23 січня 2020
Область цілісності — поняття абстрактної алгебри: асоціативне комутативне кільце з одиницею, в якому і добуток двох ненульових елементів не рівний нулю. Умова виключає з розгляду тривіальне кільце .
Еквівалентне визначення: область цілісності — це асоціативне комутативне кільце, в якому нульовий ідеал є простим.
Приклади
- Простий приклад області цілісності — кільце цілих чисел .
- Будь-яке поле є областю цілісності. З іншого боку, будь-яка артінова область цілісності є полем. Зокрема, всі скінченні області цілісності є скінченними полями.
- Кільце многочленів з коефіцієнтами з деякого цілісного кільця також є цілісним. Наприклад, цілісними будуть кільце многочленів однієї змінної з цілочисловими коефіцієнтами і кільце многочленів двох змінних з дійсними коефіцієнтами.
- Множина дійсних чисел виду є підкільцем поля , і, відповідно, областю цілісності. Те ж саме можна сказати про множину комплексних чисел виду , де і цілі.
- Нехай — зв'язна відкрита підмножина комплексної площини . Тоді кільце всіх голоморфних функцій буде цілісним. Те ж саме вірно для будь-якого кільця аналітичних функцій, визначених на зв'язній підмножині аналітичного многовиду.
- Якщо — комутативне кільце, а — ідеал в , то фактор-кільце цілісне тоді і тільки тоді, коли — простий ідеал.
- Кільце p-адичних цілих чисел.
- Факторкільце де m є складеним числом не є областю цілісності. Дійсно, вибравши розклад числа (де і не є рівними чи ). Тоді і , але .
- Коли ціле число є квадратом цілого числа тобто , кільце не є областю цілісності. У цьому випадку у і образи многочленів у факторкільці є не рівними нулю, а їх добуток буде рівним нулю.
- Кільце матриць розмірності над довільним ненульовим кільцем для не є областю цілісності.
- Кільце неперервних функції на одиничному інтервалі не є областю цілісності. Наприклад функції
- не є всюди рівними нулю, натомість їх добуток є нульовою функцією.
- Тензорний добуток не є областю цілісності. У цьому кільці існують два ідемпотенти і добуток яких .
Подільність, прості незвідні елементи
Нехай і — елементи цілісного кільця . Говорять, що « ділить » або « — дільник » (і пишуть ), якщо і тільки якщо існує елемент такий, що .
Подільність транзитивна: якщо ділить і ділить , то ділить . Якщо ділить і , то ділить також їх суму і різниця .
Для кільця з одиницею елементи , які ділять , називаються оборотними або дільниками одиниці. Елементи і називаються асоційованими, якщо ділить і ділить . і асоційовані тоді і тільки тоді, коли , де — оборотний елемент.
Ненульовий елемент , що не є оборотним називається незвідним, якщо його не можна розкласти в добуток двох елементів, що не є оборотними.
Ненульовий необоротний елемент називається простим, якщо з того, що , слідує або . Це визначення узагальнює поняття простого числа в кільці , проте враховує і негативні прості числа. Якщо — простий елемент кільця, то породжуваний ним головний ідеал буде простим. Будь-який простий елемент є незвідним, але зворотне вірно не у всіх областях цілісності.
Властивості
- Будь-яке поле, а також будь-яке кільце з одиницею, що міститься в деякому полі, є областю цілісності.
- Навпаки, будь-яка область цілісності може бути вкладена в деяке поле. Таке вкладення дає конструкція поля часток.
- Якщо — область цілісності, то кільце многочленів і кільце формальних степеневих рядів над також будуть областями цілісності.
- Якщо — комутативне кільце з одиницею і — деякий ідеал , то кільце є областю цілісності тоді і тільки тоді, коли ідеал є простим.
- У області цілісності можна застосувати правило скорочення: якщо , то з рівності випливає . Навпаки, якщо для кожного елемента рівності випливає то комутативне кільце є областю цілісності.
- Кільце буде областю цілісності тоді і тільки тоді, коли його спектр є незвідним топологічним простором.
- Прямий добуток кілець ніколи не є областю цілісності, оскільки одиниця першого кільця, помножена на одиницю другого кільця, дасть 0.
- Тензорний добуток цілісних кілець теж буде цілісним кільцем.
- Характеристика області цілісності є або нулем, або простим числом.
- Теорема Веддерберна: довільна скінченна область цілісності є полем.
- Область цілісності є рівною перетину локалізацій по всіх максимальних ідеалах
- Оскільки для всіх максимальних ідеалів , то також
- Навпаки нехай але Множина є власним ідеалом у (оскільки ). Тому міститься у деякому максимальному ідеалі . За умовою тобто можна записати Але тоді і тому має бути Одержане протиріччя завершує доведення.
Варіації і узагальнення
Іноді у визначенні області цілісності не вимагають комутативності. Прикладами некомутативних областей цілісності є тіла, а також підкільця тіл, що містять одиницю, наприклад кватерніони з цілими координатами. Проте, взагалі кажучи, невірно, що будь-яка некомутативна область цілісності може бути вкладена в деяке тіло.
Література
- Винберг Э. Б. Курс алгебри. — 4-е изд. — Москва : МЦНМО, 2011. — 592 с. — ISBN 978-5-94057-685-3.(рос.)
- Adamson Iain T. (1972). Elementary rings and modules. University Mathematical Texts. Oliver and Boyd. ISBN 0-05-002192-3.
- Bourbaki, Nicolas (1988), Algebra, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-19373-9
- Dummit, David S.; Foote, Richard M. (1999), Abstract algebra (2nd ed.), New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-36857-1
- Mac Lane, Saunders; Birkhoff, Garrett (1967), Algebra, New York: The Macmillan Co., MR0214415