Відмінності між версіями «Ззірчення»

Перейти до навігації Перейти до пошуку
157 байтів додано ,  2 місяці тому
м
+тривимірна модель
м (+тривимірна модель)
 
[[Файл:Academ_Stellated_dodecagon.svg|міні|Побудова ззірченого [[дванадцятикутник]]а: [[Правильний многокутник|правильного многокутникмногокутника]]а  з [[Символ Шлефлі|символом Шлефлі]]  {12/5}.]]
[[Файл:Compound of five tetrahedra (full).stl|thumb|Тривимірна модель з'єднання п'яти тетраедрів]]
В [[геометрія|геометрії]], '''ззірченням''' називають процес продовження [[многокутник|многокутника]] (у двовимірному [[Простір|просторі]]), [[багатогранник]]а в тривимірному просторі, чи, взагалі, [[політоп]]а в ''n-''вимірному просторі для формування нової фігури. Починаючи з початкової фігури, процес розтягує певні елементи, такі як ребра чи [[Грань (геометрія)|грані]], зазвичай симетрично, поки вони перетнуться знову щоб замкнути межі нової фігури. Нова фігура називається ззірченням початкової фігури.
 
ВУ [[геометрія|геометрії]], '''ззірченням''' називають процес продовження [[многокутник|многокутника]]а (у двовимірному [[Простір|просторі]]), [[багатогранник]]а в тривимірному просторі, чи, взагалі, [[політоп]]а в ''n-''вимірному просторі для формування нової фігури. Починаючи з початкової фігури, процес розтягує певні елементи, такі як ребра чи [[Грань (геометрія)|грані]], зазвичай симетрично, поки вони перетнуться знову щоб замкнути межі нової фігури. Нова фігура називається ззірченням початкової фігури.
 
== Означення Кеплера ==
Симетричне ззірчення правильного многокутника утворює правильний зірчастий многокутник або многокутне з'єднання. Такі многокутники характеризуються числом разів ''m'', межі багатокутника намотуються навколо центру фігури. Як і всі правильні багатокутники, їх вершини лежать на колі. ''m'' також означає кількість оборотів навколо центру кола, щоб дістатися з одного кінця даного ребра до іншого, починаючи з 1.
 
Правильному зірчастому багатокутнику відповідає його [[символ Шлефлі]] {n''/m''}, де ''n'' - — число вершин, ''m'' - — це ''крок'' використовується для порядкування вершин довкола нього,  ''m'' і ''n — ''[[Взаємно прості числа|взаємно прості]] (тобто не мають спільних [[Подільність|дільників]]). Роблячи ''m'' = 1 дає опуклу фігуру {''n''}.
 
Якщо ''n'' і ''т'' мають спільний дільник, то така фігура є правильним з'єднанням. Наприклад {6/2} є правильним з'єднанням двох трикутників {3} або [[Гексаграма|гексаграмгексаграмою]]ою, в той час як {10/4} - — з'єднання двох пентаграм {5/2}.
 
Деякі автори використовують символ Шлефлі для таких правильних з'єднань. Інші розглядають символ, що вказує поєдинчий шлях, що намотується ''m'' разів на n''/m'' вершин так, що одне ребро перетинає інше, і через кожну вершину проходять ''m'' разів. У цьому випадку може використовуватись видозмінений символ для з'єднань, наприклад, 2{3} для гексаграми і 2{5/2} для правильного з'єднання двох пентаграм.
{| class="wikitable cx-highlight" width="640" style="margin-bottom: 10px;"
|[[Файл:Pentagram_green.svg|150x150пкс]]<br/>
[[Пентаграма]], {5/2}, є єдиним ззірченням  [[Пп'ятикутник|п'ятикутника]]а
|[[Файл:Regular_star_figure_2(3,1).svg|150x150пкс]]<br/>
[[Гексаграма|Гексаграм]]а, {6/2}, ззірчення [[шестикутник]]а є з'єднанням двох [[трикутник]]ів.
| rowspan="2" |[[Файл:Enneagon_stellations.svg|375x375пкс]]<br/>
Дев'ятикутник {9} має 3 еннеаґрамні форми:<br/>
{9/2}, {9/3}, {9/4}. {9/3} -&nbsp;— з'єднання 3 трикутників.
|-
| colspan="2" |[[Файл:Obtuse_heptagram.svg|150x150пкс]][[Файл:Acute_heptagram.svg|150x150пкс]]
{7/2}, {7/3}
|}
Як і семикутник [[восьмикутник]] теж має два [[Октаграма|октаґраматичні]] ззірчення, одне, {8/3} є зірчастий многокутник, а інший, {8/2} є з'єднанням двох [[Квадрат|квадратівквадрат]]ів.
 
== Ззірчення багатогранників ==
|[[Файл:Seventeenth_stellation_of_icosahedron.png|70x70пкс]]
|}
Багатогранник ззірчується продовженням ребер чи граней багатогранника, до їх перетину і утворення нового багатогранника або з'єднання. Внутрішність нового багатогранника, ділиться гранями на певне число комірок. Торцеві площини багатогранника можуть ділити простір на безліч таких комірок, і з продовженням ззірчення будуть відсікатися більше таких комірок. Для симетричних багатогранників, ці комірки поділяться на групи, або множини, конгруентних комірок -&nbsp;— кажуть, що комірки в таких конгруентних множинах такого самого типу. Загальний метод знаходження ззірчень передбачає вибір одного чи кількох типів комірок.
 
Це може призвести до величезної кількості можливих форм, тому часто застосовують додаткові критерії для  зменшення множини значущих і унікальних ззірчень.
 
Сукупність комірок, що утворюють замкнутий шар навколо ядра називається оболонкою. Для симетричних багатогранників, оболонка може складатися з одного або більше типів комірок.
На основі таких ідей, було визначено кілька вузьких цікавих категорій ззірчень.
* '''Осьові ззірчення.''' Додавання послідовних оболонок ядра багатогранника призводить до утворення множини осьових ззірчень.
* '''Повністю витримані ззірчення.''' На нижній межі комірок можуть виступати ззовні, ніби "«навіси"». У повністю витриманих ззірчень немає таких виступів, а також всі видимі частини грані видимі з одного боку.
* '''Одновершинні сузір'ях.''' Дослівно "«одно-пікові"». Якщо у ззірченні є лиш один вид вістер, або вершин (тобто всі вершини подібні в межах однієї орбіти симетрії), вони називаються одновістряні або одновершинні. Всі такі ззірчення повністю витриманими.
* '''Основні ззірчення.''' Якщо багатогранник має площини дзеркальної симетрії, тоді кажуть, що ребра, що перетинають такі площини лежать на основних лініях. Якщо всі ребра лежать на основних лініях -&nbsp;— ззірчення називають основним. Всі основні ззірчення повністю витримані.
* '''Ззірчення Міллера.''' У "«П'ятдесят дев'ять ікосаедрів"» [[Гарольд Коксетер|Кокстера]], Дю Валь, Флатер і Петрі запис п'ять правил, запропонованих Міллером. Хоч ці правила стосуються тільки ікосаедрової геометрії, вони пристосували їх для довільних багатогранників. Вони забезпечують, серед іншого, що обертальна симетрія вихідного багатогранника зберігається і що кожне ззірчення відрізняється своїм виглядом. Чотири типи щойно означених ззірчень є підкласами ззірчень Міллера.
Можна також визначити деякі інші категорії:
* '''Часткове ззірчення''', таке у якому не всі елементи даної вимірності продовжили.
* '''Майже-симетричні ззірчення''' -&nbsp;— це ззірчення, де не всі елементи продовжені симетрично.
[[Архімедове тіло|Архімедові тіла]] і їх двійники теж можна ззірчити. Тут, як правило, додається правило, що всі вихідні торцеві площини повинні бути присутніми у ззірченні, тобто не розглядають часткові ззірчення. Наприклад, [[куб]] -&nbsp;— як правило, не розглядають як ззірчення кубооктаедра.
 
Узагальненнями правил Міллера є:
* 187 ззірчень тріакісового тетраедра
* 358,833,097 ззірчень ромбічного триаконтагедрона
* 17 ззірчень [[Кубооктаедр|кубооктаедракубооктаедр]]а (4 показані у [[Магнус Веннінґер|Веннінґерових]] "«Моделях багатогранників"»)
* Невідоме число ззірчень [[ікосододекаедр]]а; є 7071671 не хіральних  ззірчень, але число хіральних ззірчень невідоме (19 показані в Веннінґерових "«Моделях багатогранників"»)
Сімнадцять неопуклих рівномірних багатогранників є ззірченнями твердих Архімедових тіл.
 
=== Правила Міллера ===
У книзі ''П'ятдесят дев'ять ікосаедрів'', Ж. К. &nbsp;П. &nbsp;Міллер запропонував набір правил для визначення які ззірчені фігури слід вважати "«справді значущими і окремими"».
 
Ці правила були адаптовані для використання з ззірчень багатьох інших багатогранників. За правилами Міллера маємо:
* Не існує ззірчень [[куб]]а, тому що несуміжні грані паралельні і, отже, не можуть бути продовжені настільки щоб перетнутись і утворити нові ребра
* Існує 1 ззірчення [[октаедр]]а, ззірчений октаедр
* Є 3 ззірчення [[додекаедр]]: в малий ззірчений додекаедр, [[великий додекаедр]] і великий ззірчений додекаедр,  всі вони є [[Тіло Кеплера — Пуансо|багатогранниками Кеплера-Пуансо]].
* Є 58 ззірчень [[Ікосаедр|ікосаедраікосаедр]]а, в тому числі і [[великий ікосаедр]] (належить до багатогранників Кеплера-Пуансо) і друге і останнє ззірчення ікосаедра. 59-а модель в ''П'ятдесяти дев'яти ікосаедрах'' -&nbsp;— це вихідний ікосаедр.
Багато "«ззірчень Міллера"» неможливо отримати безпосередньо за допомогою методу Кеплера. Наприклад, багато мають порожнисті центри, де вихідні грані й ребра основного багатогранника повністю відсутні: немає з чого ззірчувати. З іншого боку, метод Кеплера також утворює ззірчення, які заборонені правилами Міллера, оскільки їхні комірки з'єднані ребрами або вершинами, навіть якщо їх грані окремі многокутники. На цю невідповідність довший час не звертали уваги аж до статті Інчбальда (2002).
 
=== Інші правила ззірчення ===
Правила Міллера в жодному разі не є "«правильним"» шляхом обліку ззірчень. Вони засновані на поєднанні певним чином деталей зі діаграм ззірчень і не враховують топологію отриманих граней. Самі по собі існують певні цілком прийнятні ззірчення ікосаедра, які не задовольняють ці правила -&nbsp;— одне з них знайшов Джеймс Брідж у 1974 році, тоді як є сумніви щодо деяких "«ззірчень Міллера"», чи є вони взагалі ззірченнями -&nbsp;— один з набору ікосаедрових включає кілька досить розрізнених комірок, що симетрично рухаються в просторі.
 
Поки альтернативний набір правил, який це враховує ще не були повністю розроблені. Найбільшого прогресу було досягнуто опираючись на те, що ззірчення -&nbsp;— це обопільний або двоїстий процес гранулювання, причому видаляються частини багатогранника без утворення нових вершин. Для кожного ззірчення деякого багатогранника, існує [[Дуальність|подвійне]] гранулювання  подвійного багатогранника і навпаки. Вивчаючи гранулювання двоїстости, отримуємо знання про ззірчення оригіналу. Брідж знайшов нове ззірчення ікосаедра вивчаючи гранулювання його двоїстости, додекаедра.
 
Деякі багатогранологи вважають, що ззірчення -&nbsp;— це двосторонній процес, такий, що будь-які два багатогранники, що мають однакові площини граней є ззірченнями один одного. Це зрозуміло, якщо розробляти загальний алгоритм, що згодиться для використання в комп'ютерній програмі, проте щодо решти питань воно не має особливої практичної користі.
 
Багато прикладів ззірчень можна знайти у списку Веннінґерових моделей ззірчень.
Першим систематичним йменуванням ззірчень багатогранників була система йменування [[Артур Келі|Келі]] зірчастих багатогранників (нині відомих як [[Тіло Кеплера — Пуансо|багатогранники Кеплера-Пуансо]]). Ця система була широко, проте не завжди систематично використовувана для інших багатогранників і вищих політопів.
 
[[Джон Конвей]] розробив термінологію для ззірчених [[Многокутник|багатокутників]], [[Многогранник|багатогранників]] і 4-політопів (Кокстер, 1974). У цій системі процес продовження ребер для створення нових фігур називається ''ззірченням'', а продовження граней називається ''покращенням, а ''розширенням комірок називається ''звеличенням ''(останнє не поширюється на багатогранники). Це дозволяє систематичне використання таких слів як "«ззірчений"», "«покращений"» і "«звеличений"» для розробки назв для отриманих фігур. Наприклад Конвей запропонував деякі незначні зміни імен багатогранників Кеплера-Пуансо.
 
== Ззірчення до нескінченности ==
Веннінґер помітив, що деякі багатогранники, такі як куб, не мають ніяких скінченних ззірчень. Проте можна побудувати комірки ззірчення у вигляді призм, що тягнуться до нескінченності. Фігура, що складається з таких призм називається нескінченним ззірченням або ззірченням до нескінченности. Відповідно до більшости означень багатогранників, таке ззірчення не є багатогранником.
 
Веннінґерові фігури виявилися подвоєннями рівномірного гемібагатогранника, де "«гемі"» граней вторять вершинам до нескінченности.
 
== Від математики до мистецтва ==
[[Файл:Magnus_Wenninger_polyhedral_models.jpg|ліворуч|міні|[[Магнус Веннінґер]] з деякими зі своїх моделей ззірчень багатогранників в 2009 році]]
Поряд зі своїм внеском у математику, Магнус Веннінґер розглядається в контексті взаємозв'язку [[Математика та мистецтво|математики і мистецтва]] , як людина, що зробила "«особливо гарні"» моделі складних ззірчених багатогранників.<ref>{{Cite web|url=http://www.ams.org/samplings/feature-column/fcarc-art5|title=Mathematics and Art. 5. Polyhedra, tilings, and dissections|publisher=American Mathematical Society|accessdate=1 September 2015|last1=Malkevitch|first1=Joseph}}</ref>
[[Файл:Marble_floor_mosaic_Basilica_of_St_Mark_Vencice.jpg|міні|Мармурова підлога [[мозаїка]] на [[Паоло Учелло|Паоло Уччелло]], [[Собор Святого Марка|базиліка Святого Марка, Венеція]], ц. 1430]]
Італійський ренесансний художник [[Паоло Учелло|Паоло Уччелло]] створив мозаїчну підлогу, на якій зображено невеликий ззірчений додекаедр в [[Собор Святого Марка|Базиліці Св. Марка, Венеція]], ц. 1430. Зображення Учелло використали як символ [[Венеційський бієнале|Венеційського Бієнале]] в 1986 році на тему "«Мистецтво і Наука"».<ref name="Emmer2003">{{Cite book|url=http://books.google.com/books?id=EHRDnU29PO8C&pg=PA269|title=Mathematics and Culture I|last=Emmer|first=Michele|date=2 December 2003|publisher=Springer Science & Business Media|page=269|isbn=978-3-540-01770-7}}</ref> Те ж ззірчення є центральним у двох [[Літографія|літографіяхлітографія]]х [[Мауріц Корнеліс Ешер|Мауріца Ешера]]: К''онтраст (Порядок і Хаос)'', 1950, і Гравітація, 1952.<ref>{{Cite book|title=The Magic of M. C. Escher|year=2000|publisher=Harry N. Abrams, Inc.|isbn=0-810-96720-0|author=Locher, J. L.}}</ref>
 
== Джерела ==
{{примітки}}
<references />
* Bridge, N. J.; Facetting the dodecahedron, ''Acta Crystallographica'' '''A30''' (1974), pp. 548-552548—552.
* [[Гарольд Коксетер|Coxeter]], H.S.M.; ''Regular complex polytopes'' (1974).
* [[Гарольд Коксетер|Coxeter]], H.S.M.; Du Val, P.; Flather, H. T.; and Petrie, J. F. ''The Fifty-Nine Icosahedra'', 3rd Edition. Stradbroke, England: Tarquin Publications (1999).
* Inchbald, G.; In search of the lost icosahedra, ''The Mathematical Gazette'' '''86''' (2002), p.p. 208-215208—215.
* Messer, P.; Stellations of the rhombic triacontahedron and beyond, ''Symmetry: culture and science'', 11 (2000), pp 201-230201—230.
* <cite class="citation book">Wenninger, Magnus (1974). </cite><cite class="citation book">''Polyhedron Models''. Cambridge University Press. </cite><cite class="citation book">ISBN 0-521-09859-9.</cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fen.wikipedia.org%3AStellation&rft.aufirst=Magnus&rft.aulast=Wenninger&rft.btitle=Polyhedron+Models&rft.date=1974&rft.genre=book&rft.isbn=0-521-09859-9&rft.pub=Cambridge+University+Press&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook">&nbsp;</span>
* <cite class="citation book">Wenninger, Magnus (1983). </cite><cite class="citation book">''Dual Models''. Cambridge University Press. </cite><cite class="citation book">ISBN 0-521-24524-9.</cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fen.wikipedia.org%3AStellation&rft.aufirst=Magnus&rft.aulast=Wenninger&rft.btitle=Dual+Models&rft.date=1983&rft.genre=book&rft.isbn=0-521-24524-9&rft.pub=Cambridge+University+Press&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook">&nbsp;</span>
== Посилання ==
{{стовпці|2}}
* <span class="citation mathworld" id="Reference-Mathworld-Stellation">Weisstein, Eric W., [http://mathworld.wolfram.com/Stellation.html "«Stellation"»], ''[[MathWorld]]''.</span>
* [http://www.steelpillow.com/polyhedra/icosa/ Stellating the Icosahedron and Facetting the Dodecahedron]
* [http://www.software3d.com/Stella.php Stella: Polyhedron Navigator] -&nbsp;— Програмне забезпечення для вивчення багатогранників і друку мереж для їхнього виготовлення. Включає рівномірні багатогранники, ззірчення, з'єднання, [[Правильногранний багатогранник|джонсонові тіла]] тощо.
* [http://www.software3d.com/Enumerate.php Enumeration of stellations]
* [http://bulatov.org/polyhedra/stellation/ Vladimir Bulatov ''Polyhedra Stellation.'']
* [http://bulatov.org/polyhedra/stellation_applet/ Stellation Applet]
* [http://bulatov.org/polyhedra/StellationWithVariousSymmetries/ An Interactive Creation of Polyhedra Stellations with Various Symmetries]
* [http://members.ozemail.com.au/~llan/i59.html The Fifty-Nine Icosahedra -&nbsp;— Applet]
* [http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/stellations-icosahedron-index.html 59 Stellations of the Icosahedron, George Hart]
* [https://web.archive.org/web/20061006212927/http://www.cacr.caltech.edu/~roy/Stellate/explain.html Stellation: Beautiful Math]

Навігаційне меню