Поверхневий інтеграл

Визначення поверхневого інтегралу спирається на розбиття поверхні на малі елементи

В математиці поверхневим інтегралом називається визначений інтеграл, котрий береться по поверхні (яка може бути зігнутою множиною в просторі); його можна розглядати як подвійний інтегральний аналог лінійного інтегралу. З огляду на поверхні, можна інтегрувати скалярні поля (тобто функції, які повертають числа як значення) і векторні поля (тобто функції, які повертають вектори як значення).

Поверхневі інтеграли мають застосування у фізиці, зокрема в класичній теорії електромагнетизму.

Поверхневі інтеграли

Шмат поверхні $\!S$, заданий у параметричні формі: $\!x=x(u,v)$, $\!y=y(u,v)$, $\!z=z(u,v)$, причому (u, v) пробігають деяку область $\!\Gamma$ площини, називається гладким, якщо різні пари значень $\!(u,v)$ дають різні точки $\!S$, часткові похідні функцій $\!x=x(u,v)$, $\!y=y(u,v)$, $\!z=z(u,v)$ неперервні і завжди

$\!A^{2}+B^{2}+C^{2}>0,$

$A={\begin{vmatrix}{\partial y \over \partial u}&{\partial y \over \partial v}\\{\partial z \over \partial u}&{\partial z \over \partial v}\\\end{vmatrix}}$

$\;B={\begin{vmatrix}{\partial z \over \partial u}&{\partial z \over \partial v}\\{\partial x \over \partial u}&{\partial x \over \partial v}\\\end{vmatrix}}$

$\;C={\begin{vmatrix}{\partial x \over \partial u}&{\partial x \over \partial v}\\{\partial y \over \partial u}&{\partial y \over \partial v}\\\end{vmatrix}}$

Якщо поверхня $\!S$ складається з скінченного числа гладких кусків поверхні, то $\!S$ називається кусково гладкою.

Гладка поверхня $\!S$ називається двосторонньою, якщо при обході кожної замкнутої кривої на $\!S$, виходячи з будь-якої точки $\!M_{0}$ на $\!S$, повертаємося в початкове положення з напрямом нормалі, вибраним в $\!M_{0}$. Обидві сторони двосторонньої поверхні можуть бути, таким чином, охарактеризовані напрямом відповідних нормалей. Односторонньою поверхнею є, наприклад, лист Мебіуса. Усюди надалі під поверхнею розуміється двостороння поверхня.

Площа гладкої поверхні

Хай поверхня $\!S$ задана параметрично: $\!x=x(u,v)$, $\!y=y(u,v)$, $\!z=z(u,v)$, причому $\!u$ і $\!v$ пробігають деяку область $\!\Gamma$ площини $\!u$, $\!v$. Тоді площа $\!S$ поверхні визначається поверхневим інтегралом

$\iint _{\Gamma }{\sqrt {EG-F^{2}}}\,du\,dv$, де $E={\left({\frac {\partial x}{\partial u}}\right)}^{2}+{\left({\frac {\partial y}{\partial u}}\right)}^{2}+{\left({\frac {\partial z}{\partial u}}\right)}^{2}$

$F={\partial x \over \partial u}{\partial x \over \partial v}+{\partial y \over \partial u}{\partial y \over \partial v}+{\partial z \over \partial u}{\partial z \over \partial v}$

$G={\left({\frac {\partial x}{\partial v}}\right)}^{2}+{\left({\frac {\partial y}{\partial v}}\right)}^{2}+{\left({\frac {\partial z}{\partial v}}\right)}^{2}$;

підінтегральний вираз

$dS={\sqrt {EG-F^{2}}}dudv$

називається елементом поверхні.

Якщо $\!S$ задана явно рівнянням $\!z=\phi (x,y)$, причому $\!(x,y)$ пробігають область $\!S'$ (проекцію області $\!S$ на площину x0y), то:

$S=\iint _{\S \prime }{\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}}\,dx\,dy$,

де

$p={\partial z \over \partial x}$, $q={\partial z \over \partial y}$

Поверхневі інтеграли 1-го та 2-го роду

Поверхневі інтеграли 1-го роду

Рис. 1

Визначення поверхневого інтегралу 1-го роду.

Нехай деяка функція $\!f(x,y,z)$ визначена і обмежена на гладкій поверхні $\!S$. Хай $\!Z$ позначає деяке розбиття $\!S$ на скінченну кількість елементарних поверхонь $\!S_{i}$ (i = 1, 2 …. і) з площами $\!\Delta S_{i}$, $\!\Delta (Z)$ є найбільшим діаметром елементарних поверхонь $\!S_{i}$ і $\!M_{i}=(x_{i},y_{i},z_{i})$ — довільна точка на відповідній елементарній поверхні (Рис. 1). Число

$\!S(Z)=\sum _{i=1}^{N}{f(x_{i},y_{i},z_{i})\Delta S_{i}}$

називається інтегральною сумою, що відповідає розбиттю $\!Z$. Якщо існує число $\!I$ з такою властивістю: для кожного $\!\epsilon >0$ знайдеться таке$\!\delta (\epsilon )>0$, що для кожного розбиття $\!Z$ з $\!\Delta (Z)<\delta$, незалежно від вибору точок $\!M_{i}$ $\!|S(Z)-I|<\delta$, то $\!I$ називається поверхневим інтегралом 1-го роду від $\!f(x,y,z)$ по поверхні $\!S$ і записується

$\!I=\iint _{S}f(x,y,z)\ ds$

Для окремого випадку підінтегрального виразу $\!f(x,y,z)\equiv 1$

число $\!I$ дає площу $\!S$ поверхні $\!S$.

Обчислення (зведення до подвійного інтеграла): якщо поверхня задана параметрично:

$\!x=x(u,v)$, $\!y=y(u,v)$, $\!z=z(u,v)$,

причому $\!u$ та $\!v$ пробігають область $\!\Gamma$ площини $\!u$, $\!v$

$\!I=\iint _{S}f(x,y,z)\ ds=\iint _{\Gamma }f(x(u,v),y(u,v),z(u,v)){\sqrt {EG-F^{2}}}\,dudv$

Якщо поверхня задана явно рівнянням $\!z=\phi (x,y)$ причому $\!(x,y)$ пробігають область $\!S'$, то

$\!I=\iint _{S}f(x,y,z)\ ds=\iint _{S'}f(x,y,\phi (x,y)){\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}}\ dxdy$

Аналогічні формули вірні, якщо $\!S$ представлена рівняннями виду $\!x=\psi (y,z)$ чи $\!y=\chi (x,z)$

Поверхневі інтеграли 2-го роду

Рис. 2

Орієнтація двосторонньої незамкнутої поверхні: вибирається певна сторона поверхні $\!S$; на кожній замкнутій кривій на $\!S$ визначається додатний напрям обходу так, що він разом з нормаллю вибраної сторони утворював праву трійку векторів.

Нехай в точках поверхні $\!S$, розташованої однозначно над площиною $\!x,y$ і заданою явно рівнянням $\!z=\phi (x,y)$, визначена обмежена функцією $\!f(x,y,z)$. Нехай $\!Z$ є розбиття поверхні $\!S$ на скінченну кількість елементарних поверхонь $\!S_{i}$, $\!(i=1,2,....n)$, $\!\Delta {Z}$ — найбільший діаметр елементарних поверхонь, $\!M_{i}=(x_{i},y_{i},z_{i})$ — довільна точка, вибрана на елементарній поверхні $\!S_{i}$. Якщо вибрана певна сторона поверхні і тим самим орієнтація по ній, то напрям обходу межі кожної елементарної поверхні $\!S_{i}$ визначає напрям обходу в площині $\!x,y$, біля кордону проекції $\!S'_{i}$. Площа $\!\Delta S'_{i}$ цієї проекції береться із знаком «+», якщо межа проекції $\!S'_{i}$ проходиться в додатному напрямі; інакше — із знаком «—» (Рис. 2).

Число

$\!S(Z)=\sum _{i=1}^{N}f(x_{i},y_{i},z_{i})\Delta S'_{i}$

називається інтегральною сумою, що відповідає розбиттю $\!Z$. На противагу утворенню інтегральних сум поверхневих інтегралів 1-го роду, тут $\!f(M_{i})$ множиться не на площу $\!\Delta S'_{i}$ (елементарній поверхні $\!S_{i}$ а на взяту із знаком площа $\!\Delta S'_{i}$ проекції $\!S'_{i}$ поверхні $\!S_{i}$ на площину $\!x,y$.

Якщо існує число $\!I$ з такою властивістю: для кожного $\!\epsilon >0$ знайдеться таке $\!\delta (\epsilon )>0$, що для кожного розбиття $\!Z$ з $\!\Delta (Z)<\delta$, незалежно від вибору точок $\!M_{i}$, завжди |$\!|S(Z)-I|<\epsilon$, то $\!I$ називають поверхневим інтегралом 2-го роду від

$\!f(x,y,z)$ за вибраною стороною $\!S$ і пишуть

$\!\iint _{S}f(x,y,z)\ dx\;dy$

Якщо $\!S$ не має взаємно однозначної проекції на площину $\!x,y$, але її можна розбити на скінченну кількість поверхонь, для кожної з яких існує така проекція, то поверхневий інтеграл по $\!S$ визначається як сума інтегралів по окремих поверхнях.

Якщо $\!S$ має однозначну проекцію на площину $\!y,z$ або $\!x,z$, то можна визначити аналогічно два інших поверхневих інтеграла 2-го роду

$\!\iint _{S}f(x,y,z)\ dydz$

$\!\iint _{S}f(x,y,z)\ dzdx$

де у відповідних інтегральних сумах стоять площі проекцій $\!S_{i}$ на площину $\!y,z$ або $\!x,z$.

Нарешті, для трьох функцій $\!P(x,y,z)$, $\!Q(x,y,z)$, $\!R(x,y,z)$, визначених на $\!S$, ці інтеграли можна додати і визначити більш загальний поверхневий інтеграл другого роду:

$\!\iint _{S}P\;dy\;dz+Q\;dz\;dx+R\;dz\;dy=\iint _{S}P\;dy\;dz+\iint _{S}Q\;dz\;dx+\iint _{S}R\;dx\;xy$

Обчислення поверхневого інтеграла 2-го роду (зведення до подвійного інтеграла)

1. Нехай поверхня $\!S$ має явне представлення $\!z=\phi (x,y)$, причому $\!(x,y)$ змінюються в області $\!S'$. Тоді поверхневий інтеграл по тій стороні $\!S$, для якої кут між нормаллю і віссю $\!z$ є гострим, обчислюється так:

$\!\iint _{S}f(x,y,z)dxdy=-\iint _{S'}f(x,y,\phi (x,y))$

Якщо вибрана інша сторона поверхні, то

$\!\iint _{S}f(x,y,z)dxdy=\iint _{S}f(x,y,\phi (x,y))$

Аналогічні формули виходять для інших інтегралів:

$\!\iint _{S}f(x,y,z)dydz=-\iint _{S'}f(\psi (y,z),y,z)$

де $\!S$ задана рівнянням $\!x=\psi (y,z)$, $\!S'$ — проекція $\!S$ на площину $\!y,z$, а поверхневий інтеграл береться по тій стороні, нормаль до якої утворює з віссю $\!x$ гострий кут. Так само

$\!\iint _{S}f(x,y,z)dzdx=-\iint _{S'}f(x,\chi (z,x),y)dzdx$

де $\!S$ задана рівнянням $\!y=\chi (z,x)$, $\!S'$ проекція $\!S$ на площину $\!x,z$, а поверхневий інтеграл береться по тій стороні, нормаль до якої складає з віссю у гострий кут.

2. Якщо поверхня $\!S$ задана в параметричній формі: $\!x=x(u,v)$, $\!y=y(u,v)$, $\!z=z(u,v)$, то

$\!\iint _{S}f(x,y,z)dxdy=\pm \iint _{\Gamma }f(x(u,v),y(u,v),z(u,v))C\;du\;dv$

$\!\iint _{S}f(x,y,z)dydz=\pm \iint _{\Gamma }f(x(u,v),y(u,v),z(u,v))A\;du\;dv$

$\!\iint _{S}f(x,y,z)dzdx=\pm \iint _{\Gamma }f(x(u,v),y(u,v),z(u,v))B\;du\;dv$

де

$\!A={\partial (y,z) \over \partial (u,v)}$

$\!B={\partial (z,x) \over \partial (u,v)}$

$\!C={\partial (x,y) \over \partial (u,v)}$

дивись рівняння угорі, додатний знак перед інтегралом справа використовується тоді, коли орієнтація області $\!\Gamma$ площини $\!u,v$ відповідає орієнтації вибраної сторони. Для суми трьох інтегралів отримуємо

$\!\iint _{S}P\;dy\;dz+Q\;dz\;dx+R\;dz\;dy=\pm \iint _{\Gamma }(PA+QB+RC)\;du\;dv$

Зв'язок між поверхневими інтегралами 1-го і 2-го роду

Якщо $\!\alpha$, $\!\beta$, $\!\gamma$ — кути нормалі до вибраної сторони поверхні з осями $\!x,y$ і $\!z$, то

$\!\iint _{S}{P\;dy\;dz+Q\;dz\;dx+R}\;dz\;dy=\pm {\iint _{S}{(P\;\cos \alpha +Q\;\cos \beta P\;+R\cos \gamma }\;dS}$

тобто поверхневий інтеграл 2-го роду, що стоїть зліва, перетвориться в поверхневий інтеграл 1-го роду, що стоїть справа.

Рис. 3

Поверхневий інтеграл

$\!\iint _{S}P\;dy\;dz+Q\;dz\;dx+R\;dz\;dy$

має для різних незамкнутих поверхонь $\!S_{1}$ і $\!S_{2}$ з однією і тією ж границею $\!C$ у загальному випадку різні значення (Рис. 3), тобто він в загальному випадку не обертається в нуль на замкнутій поверхні (аналогічно залежності від шляху криволінійного інтеграла). Якщо функції

$\!P,Q,R,{\partial P \over \partial x},{\partial Q \over \partial y},{\partial R \over \partial z}$

неперервні в однозв'язній просторовій області $\!V$ (тобто в області, яка разом з кожною замкнутою поверхнею містить також і область, обмежену цією поверхнею), то поверхневий інтеграл по всякій замкнутій поверхні $\!S$ в $\!V$ обертається в нуль тоді і тільки тоді, коли

$\!{\partial P \over \partial x}+{\partial Q \over \partial y}+{\partial R \over \partial z}=0$

Геометричні і фізичні застосування поверхневого інтеграла

Об'єм тіла

Об'єм $\!V$ тіла ($\!V$), обмеженого кусково гладкими поверхнями $\!S$, можна різними способами обчислити як поверхневий інтеграл другого роду:

$\!V=\iint _{S}z\;dx\;dy$

чи

$\!V=\iint _{S}x\;dy\;dz$

чи

$\!V=\iint _{S}y\;dz\;dx$

або

$\!V={1 \over 3}\iint _{S}x\;dy\;dx+y\;dz\;dx+z\;dx\;dy$

причому інетграли слід брати по зовнішній стороні поверхні $\!S$.

Центр тяжіння та сила притягання

Якщо поверхня $\!S$ покрита масою з поверхневою густиною $\!\delta (x,y,z)$, то повна маса поверхні $\!S$ дорівнює

$\!M=\iint _{S}\delta (x,y,z)\;dS$

координати $\!(\xi ,\eta ,\zeta )$ центру тяжіння дорівнюють

$\!\xi ={1 \over M}\iint _{S}x\delta (x,y,z)\;dS$

$\!\eta ={1 \over M}\iint _{S}y\delta (x,y,z)\;dS$

$\!\zeta ={1 \over M}\iint _{S}z\delta (x,y,z)\;dS$

компоненти сили притягання $\!F$ цього розподілу маси, що діє на матеріальну точку $\!M=(x_{0},y_{0},z_{0})$ одиничної маси, дорівнюють

$\!F_{x}=\gamma \iint _{S}{{x-x_{0}} \over r^{3}}\;dS$

$\!F_{y}=\gamma \iint _{S}{{y-y_{0}} \over r^{3}}\;dS$

$\!F_{z}=\gamma \iint _{S}{{z-z_{0}} \over r^{3}}\;dS$

$\!\gamma =const$

Дивіться також

• Інтегральне числення.

Література

• Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. — М.: Наука, 1980. — 976 с., ил.