Дельта-функція Дірака

δ-функція — це узагальнена функція, формально визначається як неперервний лінійний функціонал у просторі диференційовних функцій. δ-функція не є функцією в класичному розумінні.

Введена англійським фізиком Діраком. Дозволяє записати просторову густину фізичної величини (маса, заряд, інтенсивність джерела тепла, сили тощо) зосередженою або прикладеною в одній точці. Наприклад, густина точкової маси m, що знаходиться в в точці $a$, евклідового простору $\mathbb {R} ^{n}$, записується за допомогою δ-функції у вигляді $\ m\delta (x-a)$.

Означення

δ-функція визначається формальним співвідношенням

$(\delta ;f)\;=\;\int _{\mathbb {R} ^{n}}\delta (x-a)f(x)\;dx=f(a)$

для будь-якої неперервної функції $f(x)\,$.

Властивості

Для дельта-функції однієї змінної справедливі такі рівняння:

• $\delta (x)=0,\qquad \forall x\not =0$.
• $\int \limits _{-\infty }^{\infty }\delta (x)\,dx=1$.
• $x\delta ^{\prime }(x)=-\delta (x)$.
• $\delta (f(x))=\sum _{k}{\frac {\delta (x-x_{k})}{|f'(x_{k})|}}$, де $x_{k}$ — нулі функції $f(x)$.

Інтегральне представлення

У багатьох випадках зручним виявляється таке представлення дельта-функції:

Розглянемо інтеграл

$I(t)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{i\omega t}\,d\omega$,    (1)

який можна інтерпретувати як границю

$I(t)=\lim _{N=\infty }\int _{-N}^{N}e^{i\omega t}\,d\omega =\lim _{N=\infty }2\pi N{\frac {\sin {tN}}{\pi tN}}$.    (2)

Відомо, що

$\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin {t}}{t}}\,dt=\pi$.    (3)

В силу (3) для будь-якого $N\,$ справедлива рівність:

$\int \limits _{-\infty }^{\infty }2N{\frac {\sin {tN}}{tN}}\,dt=2\pi$.    (4)

Можна показати, що при необмеженому зростанні $N\,$ виявляються правильними всі властивості дельта-функції і функція (2) прямує до $\delta (t)\,$; це дозволяє зробити висновок, що:

$I(t)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{i\omega t}\,d\omega =2\pi \delta (t)$.

Похідна дельта-функції

Фундаментальний вираз, що описує похідну дельта-функції $\delta (x)$:

$\int f(x)\delta ^{[n]}(x)\,dx=-\int {\frac {\partial f}{\partial x}}\delta ^{[n-1]}(x)\;dx$.

Підставивши $f(x)=xg(x)\,\!$, одержимо вираз:

$\int xg(x)\delta ^{\prime }(x)\;dx=-\int \delta (x){\frac {\partial }{\partial x}}[xg(x)]\;dx$.

Після перетворення маємо:

$-\int \delta (x)[g(x)+xg^{\prime }(x)]\;dx=-\int g(x)\delta (x)\;dx$.

Оскільки $\int xg^{\prime }(x)\delta (x)\;dx=0$, одержуємо остаточний вираз

$x\delta ^{\prime }(x)=-\delta (x)$.

У загальному вигляді вираз похідної дельта-функції записується так:

$\int [x^{n}f(x)]\delta ^{n}(x)\;dx=(-1)^{n}\int {\frac {\partial ^{n}[x^{n}f(x)]}{\partial x^{n}}}\delta (x)\;dx$.

Для довільної дельта-функції справджуються наступні тотожності:

$\delta ^{\prime }(-x)=-\delta ^{\prime }(x)$;

$\int \limits _{-\infty }^{+\infty }f(x)\delta ^{\prime }(x-a)\;dx=-f^{\prime }(a)$;

$\int \limits _{-1}^{1}\delta \left({\frac {1}{x}}\right)\;dx=0$.

Перетворення Фур'є

До дельта-функції $x(t)=\delta (t)$ можна застосувати перетворення Фур'є:

$\int \limits _{-\infty }^{+\infty }\delta (t)\cdot e^{-i2\pi ft}\,dt=e^{-i2\pi f\cdot 0}=1$

в результаті одержуємо, що спектр δ-функції є константою: $F(\delta )=1$.

Доведено, що похідна функції Хевісайда дорівнює дельта-функції. Тобто функція Хевісайда — первісна дельта-функції:

$H(x)=\int \limits _{-\infty }^{x}\delta (t)\,dt$.

Отже, застосувавши перетворення Фур'є до первісної дельта-функції

${\sqrt {2\pi }}H(t)$,

одержимо її образ у вигляді:

${\frac {1}{i\omega }}+{\pi }\delta (t)$.

Представлення в різних координатах і системах відліку

У двовимірному просторі:

$\iint \limits _{-\infty }^{+\infty }\delta ^{2}(x,\;y)\,dx\,dy=1$;

$\delta (ax,\;by)={\frac {1}{\left|ab\right|}}\delta ^{2}(x,\;y)$;

$\delta ^{2}(x,\;y)=\delta (x)\delta (y)\,\!$.

У полярних координатах:

$\delta ^{2}(x,\;y)={\frac {\delta (r)}{\pi \left|r\right|}}$.

У тривимірному просторі:

$\iiint \limits _{-\infty }^{+\infty }\delta ^{3}(x,\;y,\;z)\,dx\,dy\,dz=1$;

$\delta ^{3}(x,\;y,\;z)=\delta (x)\delta (y)\delta (z)\,\!$.

У циліндричній системі:

$\delta ^{3}(r,\;\theta ,\;z)={\frac {\delta (r)\delta (z)}{\pi r}}$.

У сферичній системі відліку:

$\delta ^{3}(r,\;\theta ,\;\phi )={\frac {\delta (r)}{2\pi r^{2}}}\,\!$.

Фізична інтерпретація

Графік функції Хевісайда, похідна від якої — дельта-функція

Графік дельта-функції

Миттєве прискорення

Прикладом застосування дельта-функції Дірака може служити задача про зіткнення двох тіл. Якщо на непорушне тіло налітає інше, то обидва тіла отримують прискорення і змінюють свою швидкість. Як розрахувати прискорення раніше нерухомого тіла? Побудуємо графік швидкості від часу. Графік буде мати вигляд, показаний на верхньому рисунку праворуч. На нижньому рисунку приведений графік дельта-функції з одиничною амплітудою, він відображає миттєвий процес набору швидкості тілом.

Беручи до уваги те, що модель розглядається в евклідовому просторі, можна записати наступне рівняння:

$a(t)=\nu \delta (t-t_{a})$.

Функція Гріна

Розглянемо інші приклади. Дельта-функція застосовується у математичній фізиці при розв'язку задач, У які входять зосереджені величини. В квазіклачисному наближенні $h\rightarrow 0$ хвильові функції локалізуються в дельта-функції, а центри їх зосередження рухаються по класичних траекторіях за рівняннями Ньютона. Через дельта-функцію, також записуєтся функція Гріна лінійного оператора $L$, що діє на узагальнені функції над многовидом $M$ в точці $x_{0}$. Рівняння має вигляд $(\nabla ^{2}f)(x)=\delta (x-x_{0})$.

де $\nabla ^{2}$ — оператор Лапласа.

Важливо відмітити наступну формулу

$\nabla ^{2}G=-4\pi \delta$,

де

$G={\frac {1}{r}}$ — функція Гріна.

Цей вираз випливає з того, що $\nabla ^{2}\left({\frac {1}{r}}\right)$ веде себе подібно до дельта-функції. . Це твердження використовується для доведення того, що вираз для скалярного потенціала:

$\Phi (x)=\int {\varrho (x^{\prime }) \over \left|x-x^{\prime }\right|}\,d^{3}x^{\prime }$

задовольняє рівнянню Пуасона:

$\nabla ^{2}\Phi =4\pi \varrho$.

Таким чином, дельта-функція є потужним математичним апаратом для опису складних фізичних процесів.

Див. також

Функція Хевісайда

Література

• Кудрявцев Л. Д. «Краткий курс математического анализа, том 2», ISBN 5-9221-0185-4