Стохастичне числення Іто

Числення Іто — математична теорія, що описує методи маніпулювання з випадковими процесами, такими як броунівський рух (або вінерівський процес). Названа на честь творця, японського математика Кійосі Іто. Часто застосовується в фінансовій математиці і теорії стохастичних диференціальних рівнянь. Центральним поняттям цієї теорії є інтеграл Іто

$Y_{t}=\int \limits _{0}^{t}H_{s}\,dX_{s},$

де $X$ — броунівський рух або, в більш загальному формулюванні, напівмартингал. Можна показати, що шлях інтегрування для броунівського руху не можна описати стандартними техніками інтегрального числення. Зокрема, броунівський рух не є інтегрованою функцією в кожній точці шляху і має нескінченну варіацію на будь-якому часовому інтервалі. Таким чином, інтеграл Іто не може бути визначений у сенсі інтеграла Рімана — Стілтьєса. Проте, інтеграл Іто можна визначити строго, якщо помітити, що підінтегральна функція $H$ є адитивним процесом; це означає, що залежність від часу $t$ його середнього значення визначається поведінкою тільки до моменту $t$.

Позначення

$\int \limits _{0}^{t}H\,dX\equiv \int \limits _{0}^{t}H_{s}\,dX_{s}$

Інтегрування броунівського руху

$\int \limits _{0}^{t}H\,dB=\lim _{n\rightarrow \infty }\sum _{t_{i-1},t_{i}\in \pi _{n}}H_{t_{i-1}}(B_{t_{i}}-B_{t_{i-1}}).$

Процес Іто

$X_{t}=X_{0}+\int \limits _{0}^{t}\sigma _{s}\,dB_{s}+\int \limits _{0}^{t}\mu _{s}\,ds.$

Семімартингали, як інтегратори

$\int \limits _{0}^{t}H\,dX=\lim _{n\rightarrow \infty }\sum _{t_{i-1},t_{i}\in \pi _{n}}H_{t_{i-1}}(X_{t_{i}}-X_{t_{i-1}}).$

Властивості

$J\cdot (K\cdot X)=(JK)\cdot X$

$[H\cdot X]=H^{2}\cdot [X]$

Інтегрування частинами

$X_{t}Y_{t}=X_{0}Y_{0}+\int \limits _{0}^{t}X_{s-}\,dY_{s}+\int \limits _{0}^{t}Y_{s-}\,dX_{s}+[X,Y]_{t}$

Лема Іто

$df(X_{t})=\sum _{i=1}^{d}f_{,i}(X_{t})\,dX_{t}^{i}+{\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{d}f_{,ij}(X_{t})\,d[X^{i},X^{j}]_{t}.$

Мартингали-інтегратори

Квадратично інтегровні мартингали

$\mathbb {E} \left((H\cdot M_{t})^{2}\right)=\mathbb {E} \left(\int \limits _{0}^{t}H^{2}\,d[M]\right).$

Стохастична похідна

$\mathbb {D} _{B_{t}}S_{t}={\frac {\mathrm {d} \langle S,B\rangle _{t}}{\mathrm {d} \langle B,B\rangle _{t}}}={\frac {\mathrm {d} \langle S,B\rangle _{t}}{\mathrm {d} t}},$

$\mathbb {D} _{B_{t}}\int \limits _{0}^{t}X_{s}\mathrm {d} B_{s}=X_{t},$   and   $\int \limits _{0}^{t}\mathbb {D} _{B_{s}}S_{s}\mathrm {d} B_{s}=S_{t}-S_{0}-V_{t}.$

Див. також

• Вінерівський процес
• інтеграл Стратоновича

Посилання

• Стохастический мир — простое введение в стохастические дифференциальные уравнения

Література

• Allouba, Hassan (2006). A Differentiation Theory for Itô's Calculus. Stochastic Analysis and Applications. 24: 367—380. DOI 10.1080/07362990500522411.
• Hagen Kleinert, Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets, 4th edition, World Scientific (Singapore), 2004, (ISBN 981—238-107-4). Пятое издание доступно в виде pdf.
• He Sheng-Wu, Wang Jia-Gang, Yan Jia-An, Semimartingale Theory and Stochastic Calculus, Science Press, CRC Press Inc., 1992 (ISBN 7-03-003066-4, 0-8493-7715-3)
• Ioannis Karatzas and Steven E. Shreve, Brownian Motion and Stochastic Calculus, Springer, 1991 г. (ISBN 0-387-97655-8)
• Philip E. Protter, Stochastic Integration and Differential Equations, Springer, 2001 (ISBN 3-540-00313-4)
• Bernt K. Øksendal, Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications, Springer, 2003 (ISBN 3-540-04758-1)
• Mathematical Finance Programming in TI-Basic, which implements Ito calculus for TI-calculators.