Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Вилучено вміст Додано вміст
Рядок 31:
Рядок 31:
== Визначення ==
== Визначення ==
Нехай <math>Y_1,Y_2</math> — дві незалежні випадкові величини, що мають [[розподіл хі-квадрат]]: <math> Y_i ~ \chi^2(d_i)</math>, де <math>d_i \in \mathbb{N},\; i=1,2</math>. Тоді [[розподіл]] випадкової величини
Нехай <math>Y_1,Y_2</math> — дві незалежні випадкові величини, що мають [[розподіл хі-квадрат]]: <math> Y_i \sim \chi^2(d_i)</math>, де <math>d_i \in \mathbb{N},\; i=1,2</math>. Тоді [[розподіл]] випадкової величини
: <math>F = \frac{Y_1/d_1}{Y_2/d_2}</math>,
: <math>F = \frac{Y_1/d_1}{Y_2/d_2}</math>,
називається розподілом Фішера зі ступенями свободи <math>d_1</math> і <math>d_2</math>. Пишуть <math>F \sim \mathrm{F}(d_1,d_2)</math>.
називається розподілом Фішера зі ступенями свободи <math>d_1</math> і <math>d_2</math>. Пишуть <math>F \sim \mathrm{F}(d_1,d_2)</math>.
Версія за 13:25, 16 березня 2011
Розподіл Фішера
Функція розподілу ймовірностей
Параметри
d
1
>
0
,
d
2
>
0
{\displaystyle d_{1}>0,\ d_{2}>0}
ступені свободи Носій функції
x
∈
[
0
,
+
∞
)
{\displaystyle x\in [0,+\infty )\!}
Розподіл імовірностей
(
d
1
x
)
d
1
d
2
d
2
(
d
1
x
+
d
2
)
d
1
+
d
2
x
B
(
d
1
2
,
d
2
2
)
{\displaystyle {\frac {\sqrt {\frac {(d_{1}\,x)^{d_{1}}\,\,d_{2}^{d_{2}}}{(d_{1}\,x+d_{2})^{d_{1}+d_{2}}}}}{x\,\mathrm {B} \!\left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\!}
Функція розподілу ймовірностей (cdf)
I
d
1
x
d
1
x
+
d
2
(
d
1
/
2
,
d
2
/
2
)
{\displaystyle I_{\frac {d_{1}x}{d_{1}x+d_{2}}}(d_{1}/2,d_{2}/2)\!}
Середнє
d
2
d
2
−
2
{\displaystyle {\frac {d_{2}}{d_{2}-2}}\!}
for
d
2
>
2
{\displaystyle d_{2}>2}
Мода
d
1
−
2
d
1
d
2
d
2
+
2
{\displaystyle {\frac {d_{1}-2}{d_{1}}}\;{\frac {d_{2}}{d_{2}+2}}\!}
для
d
1
>
2
{\displaystyle d_{1}>2}
Дисперсія
2
d
2
2
(
d
1
+
d
2
−
2
)
d
1
(
d
2
−
2
)
2
(
d
2
−
4
)
{\displaystyle {\frac {2\,d_{2}^{2}\,(d_{1}+d_{2}-2)}{d_{1}(d_{2}-2)^{2}(d_{2}-4)}}\!}
для
d
2
>
4
{\displaystyle d_{2}>4}
Коефіцієнт асиметрії
(
2
d
1
+
d
2
−
2
)
8
(
d
2
−
4
)
(
d
2
−
6
)
d
1
(
d
1
+
d
2
−
2
)
{\displaystyle {\frac {(2d_{1}+d_{2}-2){\sqrt {8(d_{2}-4)}}}{(d_{2}-6){\sqrt {d_{1}(d_{1}+d_{2}-2)}}}}\!}
для
d
2
>
6
{\displaystyle d_{2}>6}
Коефіцієнт ексцесу
дивись текст Твірна функція моментів (mgf)
не існує, моменти визначаються іншим способом[1] Характеристична функція
дивись текст
Розподіл Фішера у теорії імовірностей — двопараметричне сімейство абсолютно неперервних розподілів[1] .
Визначення
Нехай
Y
1
,
Y
2
{\displaystyle Y_{1},Y_{2}}
— дві незалежні випадкові величини, що мають розподіл хі-квадрат :
Y
i
∼
χ
2
(
d
i
)
{\displaystyle Y_{i}\sim \chi ^{2}(d_{i})}
, де
d
i
∈
N
,
i
=
1
,
2
{\displaystyle d_{i}\in \mathbb {N} ,\;i=1,2}
. Тоді розподіл випадкової величини
F
=
Y
1
/
d
1
Y
2
/
d
2
{\displaystyle F={\frac {Y_{1}/d_{1}}{Y_{2}/d_{2}}}}
,
називається розподілом Фішера зі ступенями свободи
d
1
{\displaystyle d_{1}}
і
d
2
{\displaystyle d_{2}}
. Пишуть
F
∼
F
(
d
1
,
d
2
)
{\displaystyle F\sim \mathrm {F} (d_{1},d_{2})}
.
Моменти
Математичне чекання і дисперсія випадкової величини, що має розподіл Фішера, мають вигляд:
M
[
F
]
=
d
2
d
2
−
2
{\displaystyle \mathbb {M} [F]={\frac {d_{2}}{d_{2}-2}}}
, якщо
d
2
>
2
{\displaystyle d_{2}>2}
,
D
[
F
]
=
2
d
2
2
(
d
1
+
d
2
−
2
)
d
1
(
d
2
−
2
)
2
(
d
2
−
4
)
{\displaystyle \mathrm {D} [F]={\frac {2\,d_{2}^{2}\,(d_{1}+d_{2}-2)}{d_{1}(d_{2}-2)^{2}(d_{2}-4)}}\!}
, якщо
d
2
>
4
{\displaystyle d_{2}>4}
.
Властивості розподілу Фішера
Якщо
F
∼
F
(
d
1
,
d
2
)
{\displaystyle F\sim \mathrm {F} (d_{1},d_{2})}
, те
1
F
∼
F
(
d
2
,
d
1
)
{\displaystyle {\frac {1}{F}}\sim \mathrm {F} (d_{2},d_{1})}
.
Розподіл Фішера збігається до одиниці: якщо
F
d
1
,
d
2
∼
F
(
d
1
,
d
2
)
{\displaystyle F_{d_{1},d_{2}}\sim \mathrm {F} (d_{1},d_{2})}
, те
F
d
1
,
d
2
→
δ
(
x
−
1
)
{\displaystyle F_{d_{1},d_{2}}\to \delta (x-1)}
по розподілі при
d
1
,
d
2
→
∞
{\displaystyle d_{1},d_{2}\to \infty }
,
де
δ
(
x
−
1
)
{\displaystyle \delta (x-1)}
— дельта-функція в одиниці, тобто розподіл випадкової величини-константи
X
≡
1
{\displaystyle X\equiv 1}
.
Зв'язок з іншими розподілами
Якщо
F
d
1
,
d
2
∼
F
(
d
1
,
d
2
)
{\displaystyle F_{d_{1},d_{2}}\sim \mathrm {F} (d_{1},d_{2})}
, те випадкові величини
d
1
F
d
1
,
d
2
{\displaystyle d_{1}F_{d_{1},d_{2}}}
збінаються по розподілу до
χ
2
(
d
1
)
{\displaystyle \chi ^{2}(d_{1})}
при
d
2
→
∞
{\displaystyle d_{2}\to \infty }
.
Дивіться також
Дискретні одновимірні зі скінченним носієм
Дискретні одновимірні з нескінченним носієм
Неперервні одновимірні з носієм на обмеженому проміжку
Неперервні одновимірні з носієм на напів-нескінченному проміжку
Неперервні одновимірні з носієм на всій дійсній прямій
Неперервні одновимірні з носієм змінного типу
Змішані неперервно-дискретні одновимірні
Багатовимірні (спільні)
Напрямкові [en]
Вироджені та сингулярні [en]
Сімейства
Джерела
↑ а б Johnson, Norman Lloyd; Samuel Kotz, N. Balakrishnan (1995). Continuous Univariate Distributions, Volume 2 (Second Edition, Section 27) . Wiley. ISBN 0-471-58494-0 . (англ.)