Відмінності між версіями «Метричний простір»

Перейти до навігації Перейти до пошуку
'''Метричний простір''' — це пара (<math>X,d</math>), яка складається з деякої [[множина|множини]] <math>X</math> елементів і [[відстань|відстані]] <math>d</math>, визначеної для будь-якої пари елементів цієї множини.
== Формальне визначення ==
'''Метричним простором''' називається пара <math>(X,\;d)</math>, яка складається з деякої множини елементів <math>\;X</math> і відстані <math>d\colon X\times X\to\R</math>, а саме однозначної, невід’ємноїневід'ємної, дійсної функції <math>\;d(x,y)</math>, визначеної для <math>\forall x,y\in X</math>, яка задовільняє наступні 3 аксіоми:
# <math>d(x,\;y)=0\Leftrightarrow x=y</math> (''аксіома тотожості'').
# <math>d(x,\;y)=d(y,\;x)</math> (''аксіома симетрії'').
# <math>d(x,\;z)\leqslant d(x,\;y)+d(y,\;z)</math> ([[нерівність трикутника]]).
Невід’ємністьНевід'ємність доводиться за допомогою наступних міркувань:
: <math>0=d(x,x)\leqslant d(x,y)+d(y,x)=2d(x,y)</math>
== Приклади метричних просторів ==
# '''Простір ізольованих точок''' </br> <math>d(x,y) = \begin{cases} 0, & x=y\\ 1, & x \ne\ y \end{cases}</math>
# Множина дійсних чисел утворює метричний простір '''<math>\mathbb{R}^1</math>''' </br> <math>d(x,\;y) = |x-y|</math>
# Множина впорядкованих груп з n дійсних чисел <math>x=(x_1,x_2,\ldots,x_n)</math> з відстанню </br> <math>d(x,\;y) = \sqrt{\sum_{k=1}^n (y_k-x_k)^2}</math> </br> називається n-вимірним арифметичним евклідовим простором '''<math>\mathbb{R}^n</math>'''.
# Ту саму множину впорядкованих груп з n дійсних чисел <math>x=(x_1,x_2,\ldots,x_n)</math>, але з відстанню </br> <math>d_1(x,\;y) = \sum_{k=1}^n |y_k - x_k| </math> </br> позначимо простором '''<math>\mathbb{R}^n_1</math>'''.
# Знову візьмемо ту саму множину, що в прикладах 3 і 4, і визначимо відстань між його елементами формулою: </br> <math>d_\infty(x,\;y) = \max_{1\leqslant k \leqslant n} |y_k-x_k|</math> </br> Цей простір '''<math>\mathbb{R}^n_\infty</math>''' в багатьох питаннях аналізу не менш зручний, ніж евклідовий простір '''<math>\mathbb{R}^n</math>'''.
# Множина <math>C_{[a,b]}</math> всіх неперервних дійсних функцій, визначених на проміжку <math>[a,b]</math> з відстанню </br> <math>d(f,\;g)= \max_{a \leqslant t \leqslant b}|g(t)-f(t)|</math>
# Позначимо через <math>\mathit{l}_2</math> метричний простір, точками якого слугують всі можливі послідовності <math>x=(x_1,x_2,\ldots,x_n,\ldots)</math> дійсних чисел, що задовільняють умові: <math>\sum_{k=1}^\infty x_k^2 \leqslant \infty</math>, а відстань визначається формулою: </br> <math>d(x,y)=\sqrt{\sum_{k=1}^\infty (y_k-x_k)^2}</math>
# Розглянемо, як і в прикладі 6, сукупність усіх функцій, неперервних на відрізку <math>[a,b]</math>, але відстань визначимо по-іншому, а саме: </br> <math>d(x,y)=\left (\int_a^b (x(t)-y(t))^2 \right)^{1/2}</math> </br> Такий метричний простір позначимо <math>C_2[a,b]</math> і будемо називати простором неперервних функцій з квадратичною метрикою.
# Розглянувши множину усіх обмежених послідовностей <math>x=(x_1,x_2,\ldots,x_n,\ldots)</math> дійсних чисел, отримаємо простір <math>\mathit m</math> з метрикою: </br> <math>d(x,\;y)=\sup_{k}|y_k-x_k|</math>
# Множина впрядкованих груп з n дійсних чисел з відстанню </br> <math>d(x,\;y)=(\sum_{k=1}^n |y_k-x_k|^p)^{1/p}</math>,</br> де <math>p</math> - будь-яке фіксоване число <math>\geq 1</math>. Цей простір позначимо <math>\mathbb{R}^n_p</math>
 
==Топологія породжена метрикою==
17

редагувань

Навігаційне меню