Метричний простір

Метричний простір — це пара ($X,d$), яка складається з деякої множини $X$ елементів і відстані $d$, визначеної для будь-якої пари елементів цієї множини.

Формальне визначення

Метричним простором називається пара $(X,\;d)$, яка складається з деякої множини елементів $\;X$ і відстані $d\colon X\times X\to \mathbb {R}$, а саме однозначної, невід'ємної, дійсної функції $\;d(x,y)$, визначеної для $\forall x,y\in X$, яка задовільняє наступні 3 аксіоми:

1. $d(x,\;y)=0\Leftrightarrow x=y$ (аксіома тотожості).
2. $d(x,\;y)=d(y,\;x)$ (аксіома симетрії).
3. $d(x,\;z)\leqslant d(x,\;y)+d(y,\;z)$ (нерівність трикутника).

Невід'ємність доводиться за допомогою наступних міркувань:

$0=d(x,x)\leqslant d(x,y)+d(y,x)=2d(x,y)$

Приклади метричних просторів

1. Простір ізольованих точок
   $d(x,y)={\begin{cases}0,&x=y\\1,&x\neq \ y\end{cases}}$
2. Множина дійсних чисел утворює метричний простір $\mathbb {R} ^{1}$
   $d(x,\;y)=|x-y|$
3. Множина впорядкованих груп з n дійсних чисел $x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ з відстанню
   $d(x,\;y)={\sqrt {\sum _{k=1}^{n}(y_{k}-x_{k})^{2}}}$
   називається n-вимірним арифметичним евклідовим простором $\mathbb {R} ^{n}$.
4. Ту саму множину впорядкованих груп з n дійсних чисел $x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$, але з відстанню
   $d_{1}(x,\;y)=\sum _{k=1}^{n}|y_{k}-x_{k}|$
   позначимо простором $\mathbb {R} _{1}^{n}$.
5. Знову візьмемо ту саму множину, що в прикладах 3 і 4, і визначимо відстань між його елементами формулою:
   $d_{\infty }(x,\;y)=\max _{1\leqslant k\leqslant n}|y_{k}-x_{k}|$
   Цей простір $\mathbb {R} _{\infty }^{n}$ в багатьох питаннях аналізу не менш зручний, ніж евклідовий простір $\mathbb {R} ^{n}$.
6. Множина $C_{[a,b]}$ всіх неперервних дійсних функцій, визначених на проміжку $[a,b]$ з відстанню
   $d(f,\;g)=\max _{a\leqslant t\leqslant b}|g(t)-f(t)|$
7. Позначимо через ${\mathit {l}}_{2}$ метричний простір, точками якого слугують всі можливі послідовності $x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},\ldots )$ дійсних чисел, що задовільняють умові: $\sum _{k=1}^{\infty }x_{k}^{2}<\infty$, а відстань визначається формулою:
   $d(x,y)={\sqrt {\sum _{k=1}^{\infty }(y_{k}-x_{k})^{2}}}$
8. Розглянемо, як і в прикладі 6, сукупність усіх функцій, неперервних на відрізку $[a,b]$, але відстань визначимо по-іншому, а саме:
   $d(x,y)=\left(\int _{a}^{b}(x(t)-y(t))^{2}\right)^{1/2}$
   Такий метричний простір позначимо $C_{2}[a,b]$ і будемо називати простором неперервних функцій з квадратичною метрикою.
9. Розглянувши множину усіх обмежених послідовностей $x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},\ldots )$ дійсних чисел, отримаємо простір ${\mathit {m}}$ з метрикою:
   $d(x,\;y)=\sup _{k}|y_{k}-x_{k}|$
10. Множина впрядкованих груп з n дійсних чисел з відстанню
    $d(x,\;y)=(\sum _{k=1}^{n}|y_{k}-x_{k}|^{p})^{1/p}$,
    де $p$ - будь-яке фіксоване число $\geq 1$. Цей простір позначимо $\mathbb {R} _{p}^{n}$

Топологія породжена метрикою

Кожна метрика породжує топологію базою, що складається з відкритих куль метричного простору. Породжена топологія задовільняє багатьом хорошим умовам, як наприклад всі аксіоми віддільності.

Приклади

• Відстань Хаусдорфа

Дивіться також

• Повний метричний простір
• Нормований простір
• Неархімедова метрика

Література

1. С. Т. Завало (1972). Елементи аналізу. Алгебра многочленів. Київ: Радянська школа.
2. П. І. Голод; А. У. Клімик (1992). Математичні основи теорії симетрій (українська) . Київ: Наукова Думка. ISBN 5-12-002743-1. {{cite book}}: Cite має пусті невідомі параметри: |пубрік=, |глава=, |пубдата=, |авторлінк=, |лінк=, |главалінк= та |пубмісяць= (довідка)